Page 223 - vol2

 cos100x sin100x  0 − 1
  =   , ahonnan cos 100x= 0 és sin 100x= 1,
 − sin100x cos100x   1 0 
 (4k + 1)

ezért 100x= + 2 k , ahonnan x = és k Z, és a megoldás ,
2 200
 cos x sin x  b (4k + 1)

X =   , valamint x= arctg = 
 − sin x cos x  a 200
(4k + 1)  a b
b= a tg szerint X=   alakba is visszaírhatunk.
200  − b a 

8. feladat: Határozzuk meg az összes olyan X  M 2 ( ) mátrixokat,
R
 a b
amelyekre X 2021 =   , ahol a ,b  adott számok.
 − b a 

 a b x  y
Megoldás: Ha A =   , X =   akkor az
 − b a   z t 
 a b  x y x  y  a b
AX = XA      =     egyenlet alapján azonnal
 − b a   z t   z t   − b a 
 x y
adódik, hogy x t z= , = − ezért X =   és most írjuk fel polár
y
 − y x 
 cost sint 
=
koordinátákkal az x r= cos , y r sint ezért X = r   és
t
 − sint cost 
 cos2021t sin 2021t 
indukcióval már igazoltuk, hogy X 2021 = r 2021   tehát
 − sin 2021t cos2021t 
=
r 2021 cos2021t = , a r 2021 sin2021t b ahonnan tgt = b  t = arctan b + k
a a
b 2 a 2
2
továbbá sin 2021 t = ,cos 2021 t = ezért r 4041 = a + 2 b így
r 4041 r 4041
r = 4041 a + 2 b .
2
)
9. feladat: Legyen t  (0, rögzített valós szám. Határozzuk meg az
összes olyan X  M 2 ( ) mátrixokat, amelyekre
R

223