Page 220 - vol2

 6 4 
Megoldás: mivel jelen esetben is det A = det   = 0 ezért az
 15 10 
 a b 
előbbiekben leírtak szerint X = t n− 1 X és ha konkrétan X =  
n
 c d 
 a b 
akkor X = n (a b ) n− 1   ezért az eredeti egyenlettel egybevetve
+
 c d 
azt kapjuk, hogy

+
+
+
+
(a d ) n− 1 a = 6,(a d ) n− 1 b = 4,(a d ) n− 1 c = 15,(a d ) n− 1 d = 10 és az első
és az utolsó egyenletek összegezéséből azt kapjuk, hogy
n− 1
+
+
n
(a d ) = 16  a d = 16 n amit visszaírva az egyenletekbe azt
6 4 15 10
kapjuk, hogy a = ,b = ,c = ,d = , és ezek alapján
n− 1 n− 1 n− 1 n− 1
16 n 16 n 16 n 16 n
1  6 4 
X = 1   .
n−  15 10 
16 n
5. feladat: Határozzuk meg az összes olyan X  M 2 ( ) mátrixokat,
 16 0 
4
amelyekre X =   .
 0 16 
2) Megoldás: Először is vegyük észre, hogy
 4 16 0 
2
(det X ) = det    d = det X =  . Továbbá legyen X =
4
Y
 0 16 
2
így mivel det X =  4 és (det )X 2 = detY ezért detY = 16 és Y = 16I
2
Ellenben a karatkerisztikus egyenlet alapján, amennyiben t = TrY , úgy
2
Y − t Y + 16I = O  16I − t Y + 16I = O  t Y = 32I  Y = 32 I



2
2
2
2
2
2
2
t
 32  2
2
ellenben Y = 16I ezért   = 16  =  . Tehát
8
t
2
 t 
2
Y =  4I  X =  4I . Ellenben X = − 4I  (det X ) = − 4det I
2
2
2
2
2
2
ami nem lehetséges, mivel a baloldal nem negatív, míg a jobboldal
2
negatív. Tehát X = 4I így megint
2

220