Page 218 - vol2

Ezen fogalmak segítségével különös fontossággal bír a mátrix
karakterisztikus egyenletek, a Cayley-Hamilton formula:

2
X − t X + d I = O .


2
2
1. feladat: Határozzuk meg az összes olyan X  M 2 ( ) mátrixokat,
 1 12
2
amelyekre X =  
 − 4 1 
Megoldás: Az előzőekben említett (4)-es tulajdonság szerint felírható,
2
=
hogy det X = (det X ) = 1 48 49 tehát d = det X =  . Ezért, ha
2
+
7
t = TrX , akkor a karakterisztikus egyenlet alapján felírható, hogy
 1 12  7 0  0 0
X − t X + 7I = O    − t X      

=

2
2
2
 − 4 1   0 7   0 0 
 1 12  7 0
 tX =    

 − 4 1   0 7 
 1 12  7 0  8 12
=
+
a) Ha tX =       és ha vesszük mind a két
 − 4 1   0 7   − 4 8 
oldal nyomát, akkor (2)-es tulajdonság alapján kapjuk, hogy
 2 3
t = 16  =  ezért az előző összefüggés alapján X =    .
2
t
4
 − 1 2 
 1 12  7 0  − 6 12 
b) Ha ellenben tX =       és ha vesszük mind
=
−
 − 4 1   0 7   − 4 − 6 
a két oldal nyomát, akkor (2)-es tulajdonság alapján kapjuk, hogy
t = − 12   ezért ebben az esetben nem kapunk valós megoldásokat.
2
t
2. feladat: Határozzuk meg az összes olyan X  M 2 ( ) mátrixokat,
 0 3
amelyekre X + 2 X =  
 − 2 0 
Megoldás: vegyük észre, hogy az egyenlet így alakítható át:
 0 3 2  1 12
2
4X + 4X + I = 4   + I  (2X + I 2 ) =   mi nem más, mint
2
2
 − 2 0   − 1 1 

218