Page 217 - vol2

25. Magasabb fokú mátrixegyenletek megoldása

Az előző paragrafusokban azzal foglalkoztunk, hogy adott
a  b
A =   mátrixok esetén, határozzuk meg az A hatványmátrixok,
n
 c d 
minden n  esetén. Ebben a paragrafusban éppen ennek a fordított
műveletével foglalkozunk, vagyis adott k   esetén ismert az
a  b
k
X =   és ebből kell meghatároznunk az X mátrixot. Ez jóval
 c d 
nehezebb mint az előző művelet, mert a mátrixok halmazán nem
értelmezett a gyökvonás művelet, de még az inverz mátrixal való szorzás
sem vezet eredményre.

Az ilyen típusu feladatok tulajdonképpen magasabb fokú
mátrixegyenletek (pontosabban binom egyenletek), és a továbbiakban
ezek megoldására két módszert mutatunk be megjegyezve, hogy
esetenként akár mind a két módszer alkalmazható. A két módszer a
következő:
1) A Tr(X) és det(X) módszere 2) Az AX = XA kommutálási
módszere

A következőkben megoldott feladatok által kitérünk a két módszer
részletes tárgyalására.
I.A Tr(X) és det(X) módszere
x  y
Emlékeztetünk, hogy adott X =   mátrix esetén
 z t 
+
=
=
X
t Tr ( ) x y és ezt a mátrix nyomának is nevezzük, továbbá
d = det( ) = xt − yz és ezt a mátrix determinánsának nevezzük.
X
A két operátor lényegesebb tulajdonságai a következők:
=
+
+
=
B
(1) Tr (A B ) Tr ( ) Tr ( ), (2) Tr (kA ) kTr ( )
A
A
n
(3) det(A B ) det( ) det( ) , (4) det(A n ) = (det( )A )

=
A
B

217