Page 213 - vol2

A tétel bizonyítása tulajdonképpen kiolvasható az előbbi
eszmefuttatásokból.

Nézzünk most a Tételnek néhány alkalmazását:

2x + 3  3
1. Alkalmazás: Ha ( )f x = , f : \ −  →  , akkor számítsuk ki az
4x + 6  2 

f n ( ) függvényt, ahol f = f f ... f minden n  esetén.
x
n
−
n szer
 2 3
Megoldás: A függvényhez tartozó mátrix A =   , és nem marad
 4 6 
n
hátra mint az, hogy kiszámítsuk az A hatványt. Ezt a karakterisztikus
egyenlet módszerével tesszük meg (lásd a IV. részt). Mivel t = 8,d = 0
=
2
ezért a karakterisztikus egyenlet A − 2 8A O vagyis A = 8Aés innen már
2
 2 8 n − 1 3 8 n − 1 


azonnal kapjuk, hogy A = n 8 n− 1 A =  −  1   . Tehát


 4 8 n 1 6 8 n − 


2 8 n − 1 x + 3 8 n − 1 2x + 3

x
x
f ( ) = = = f ( ), n  esetén.
n


4 8 n − 1 x + 6 8 n − 1 4x + 6
0
Megjegyzés: Vegyük észre, hogy ebben az esetben d = volt, ezért
hasonló esetekben, a karakterisztikus egyenlet A = 2 t A alakú lesz, ezért

 2 t n − 1 3 t n − 1 


A = n t n− 1 A =  −  1   , így hát mindig f n ( ) = f ( ), n  esetén.

x
x


 4 t n 1 6 t n − 
x + 2  1
2. Alkalmazás: Ha f ( ) = , f : \   → , akkor számítsuk ki az
x
2x − 1  2 
f n ( ) függvényt, ahol f = f f ... f minden n  esetén.
x
n
n szer
−
 1 2 
Megoldás: A függvényhez tartozó mátrix A =   , és nem marad
 2 − 1 
hátra mint az, hogy

213