Page 214 - vol2

n
kiszámítsuk az A hatványt. Ezt a karakterisztikus egyenlet módszerével
tesszük meg (lásd a IV. részt). Mivel t = 0,d = − ezért a karakterisztikus
5
egyenlet A − 2 5I = 2 O vagyis A = 5I és A = 5A innen már azonnal
2
3
2
2
5  2k− 1 0 
kapjuk, hogy A 2k = 5 2k− 1 I = 2   2k−   illetve
 0 5 1 
 1 2   5 2k 2 5   2k 5 2k− 1 x + 0 5x
x
A 2k+ 1 = 5 2k   =   2k   . Tehát f 2k ( ) = = = x ,

 2 − 1  2 5 2k − 5  0 x +  5 2k− 1 5

5 2k− 1 x + 2 5 2k− 1 x + 2
x
illetve f ( ) = = = f ( )  k   esetén.
x
2k+
1

2 5 n − 1 x − 5 n − 1 2x − 6
0
Megjegyzés: Vegyük észre, hogy ebben az esetben t = volt, ezért

hasonló esetekben, a karakterisztikus egyenlet A = − d I  A = − d A

2
3
2
 d 2k− 1 0  −
2k
alakú lesz, ezért A = − d 2k− 1 I =  2  2k−   és
 0 − d 1 


 m n  m d 2k n d 2k 
=
x
A 2k+ 1 = d 2k   =  2k   így hát általában is f 2k ( ) x és
,

 p q   p d 2k q d 
 
+
mx n
f ( ) = x = f ( )  k   esetén.
x
2k+
1
+
px q
3x + 1
x
3. Alkalmazás: Ha f ( ) = , f : \   1 → , akkor számítsuk ki az
− x + 1
x
f n ( ) függvényt, ahol f = f f ... f minden n  esetén.
n
−
n szer
Megoldás: Ha megpróbálnánk kiszámítani néhány függvényösszetételt,
8x + 4 20x + 12
ezt kapnánk: ( ( ))f f x = , ( ( ( )))f f f x = , de ezekből nem
− 4x − 12 4
−
jövünk rá egy könnyen, hogy a feladatot esetleg indukcióval bizonyítsuk.
 3 1
Éppen ezért felírjuk, hogy a függvényhez tartozó mátrix A =   , és
 − 1 1 
n
nem marad hátra mint az, hogy kiszámítsuk az A hatványt. Ezt a
karakterisztikus egyenlet módszerével tesszük meg (lásd a IV. részt).

214