Page 212 - vol2

a n+ 1 = aa + n cb , b n+ 1 = ba + n db , c n+ 1 = ac + n cd , d n+ 1 = bc + n dd ahol
n
n
n
n
a = , a b = , b c = , c d = .
d
1
1
1
1
A (2)-es összefüggésben figyeljünk fel csak a következő
2
2
kifejezésekre: a + bc , (b a d+ ) (c a d+ ), d + bc . Könnyen észrevehetjük,
 a b   a + 2 bc ( b a d  + )
hogy ha az A =   mátrixot tekintjük, akkor A =  2  ,
+
 c d    ( c a d ) d + 2 bc  
2
vagyis a szóban forgó négy kifejezés, éppen az A mátrixhatvány elemei.
 a b 
2
Ez utóbbi, a már bevezetett jelöléssel így írható: A =  2 2  ahol
 c 2 d 2 
a = 2 aa + 1 cb , b = 2 ba + 1 db , c = 2 ac + 1 cd , d = 2 bc + 1 dd és
2
1
1
1
a = , a b = , b c = , c d = .
d
1
1
1
1
 a b 
Ha most indukcióval feltételezzük, hogy A =  n n  , akkor mivel
n
 c n d n 
n

A n+ 1 = A A vagyis
 a n + 1 b n + 1   a b   a n b   a n + 1 b n + 1 aa +   n cb n ba + n db 
n
n
=
   =    tehát    
c n +  1 d n + 1   c d   c n d n  c n +  1 d n + 1   ac + n cd n bc + n dd n 
ahonnan a már ismert a n+ 1 = aa + n cb , b n+ 1 = ba + n db , c n+ 1 = ac + n cd ,
n
n
n
d n+ 1 = bc + n dd ahol a = , a b = , b c = , c d = rekurziót kapjuk. Tehát az
d
1
1
n
1
1
indukciós feltevésünk helyes.
Ezek alapján kijelenthető a jelen dolgozatunk központi eredménye:
+
ax b  d   a b 
Tétel: Ha ( )f x = , :f \ −  →  és A =   , valamint
+
cx d  a   c d 
f = , f = f f , f = f f f ,…, f = f f ... f , tehát
f
3
2
n
1
−
n szer
+
a x b
x
f = f f = f f , akkor f ( ) = n n ahol az a , , ,d sorozat
b
c
−
−
n
n
n
1
n
1
+
c x d n n n n n
n
 a b 
n
tagjait az A =  n n  mátrixhatványból határozzuk meg.
 c n d n 

212