Page 178 - vol2

 2 3 2  n 3  ( 2 − n ) 1 
Ennek alapján, ha A =   , akkor A =  n  k  * esetén.
 0 1    0 1  

 2 1
n
8. feladat: Ha A =   , akkor számítsuk ki az A hatványt n  *
 1 2 
esetén!

Megoldás: Sorra kiszámítjuk, és felírjuk, hogy
 5 4  14 13  41 40
4
2
A =   , A =   , A =   . Hosszabb megfigyelés után
3
 4 5   13 14   40 41 
sem adódik azonnal a képlet a 2,5,14,41 sorozat tagjaira. Éppen ezért az
az ötletünk támadhat, hogy inkább oldjuk meg az általánosabb feladatot,
 a b
vagyis tekintsük az A =   mátrixot, és hatványozzuk ezt, mert ebben
 b a 
az esetben a betűkifejezések nem vonhatók össze, ezért sokkal több
esélyünk van, hogy egy képletet kapjunk. Ezután partikularizálással pedig
visszakaphatjuk a kitűzött feladatunk megoldását. Valóban,
2
2
 (a b + (a b ) 2 (a b − (a b  − ) 2
−
+
+
)
)
 
2
A =  2 2 , 
 (a b − (a b ) 2 (a b + (a b  − ) 2
+
2
2
−
+
)
)
 
 2 2 
 (a b + (a b ) 3 (a b − (a b  − ) 3
−
3
+
3
+
)
)
 
3
A =  2 2 , 
 (a b − (a b ) 3 (a b + (a b  − ) 3
−
3
3
+
+
)
)
 
 2 2 
 (a b + (a b ) 4 (a b − (a b  − ) 4
+
+
−
4
4
)
)
 
A =  2 2 
4
4
4
 (a b − (a b ) 4 (a b + (a b  − ) 4
+
−
+
)
)
 
 2 2 
és ennek alapján feltételezzük, hogy

178