Page 173 - vol2

19. Másodrendű mátrixok hatványozása indukcióval

Ebben a paragrafusban, másodrendű mátrixok hatványozásával
foglalkozunk. A hatványozást, mint ismételt szorzást értelmezzük, de
értelmezhető a következő rekurzív összefüggéssel is:
A = A , A = A A n− 1 , n * esetén. Egy hatványműveletet akkor

1
n

n
tekintünk teljesen elvégzettnek, amikor az A mátrix minden elemét egy
képlettel (relációval) adjuk meg ami minden n * esetén érvényes. A
gyakorlatban ellenben egy-egy ilyen képlet megállapítása nem mindig
egyszerű!
A továbbiakban a mátrixok hatványozására általános érvényű
megoldási módszereket mutatunk be. Kezdjük a leg elterjedtebb
módszerrel:

I. Az indukció módszere

Ez a módszer a matematikai indukcióra épül, és a lényege az, hogy
3
2
,
sorra kiszámítjuk az A A A 4 ,... hatványokat, és az elemekre
,
megpróbálunk megállapítani egy képletet. Így a megállapított képletekkel
feltételezzük, hogy A igaz, és az A = n A A n− 1 értelmezése alapján
k

bebizonyítjuk, hogy a megállapított képlet igaz A k+ 1 esetén is.
Ezt a módszer előszeretettel alkalmazzuk a mátrixok
hatványozására, de a sikernek egyetlen feltétele, hogy sikerüljön
k
korrektül megsejtenünk az A hatvány elemeire érvényes képleteket. Ez
bizony nem minden esetben egyszerű dolog!

A következőkben megoldott feladatok által szemléltetjük a
módszer lényegét, hatékonyságát és korlátait.

 1 2
n
1. feladat: Ha A =   , akkor számítsuk ki az A hatványt n  *
 0 1 
esetén!

173