Page 172 - vol2

1
ennél „finomabb” aszimptotikus megközelítés is miszerint <  < 1 , ami a
4 3
következő egyenlőtlenségláncból adódik:
11. feladat: Mutassuk meg, hogy bármely n  1 természetes szám ese-
tén igaz a következő egyenlőtlenséglánc:
(2 )!!
n
1 1
 (n + ) < <  (n + )
4 (2n − 1)!! 3
Mint az egyenlőtlenséglánc mint annak a nagyszerű bizonyítása Dr.
Tóth Lászlótól, a Pécsi Tudományegyetem Természettudományi Karának tan-
székvezető docensétől származik
n
(2 )!! 1 (2 )!! 1
n
legyen x =  , és y =  . A
(2n − 1)!!  (n + 1 ) (2n − 1)!!  (n + 1 )
n n
4 3
10. feladat dupla egyenlőtlensége alapján azonnal látható, hogy lim x =
x→ n
lim y = 1. Továbbá egyszerű számolásokkal azonnal igazolható, hogy
x→ n
x n+ 1  x és y  y n+ 1 . És mivel egy konvergens és szigorúan csökkenő
n
n
(növekvő) sorozat általános tagja kisebb (nagyobb) mint a határértéke, azért az
egyenlőtlenséglánc máris bizonyított.
Befejezésül megjegyezzük, hogy a Wallis-formula a matematikában
! n
nagy fontossággal rendelkező lim = 1úgynevezett Stirling-
n→  e  n

   2 n
 n 
formula bizonyításának egyik fontos láncszemét képezi.

172