Page 174 - vol2

Megoldás: Sorra kiszámítjuk, és felírjuk, hogy
 1 4  1 6  1 8
2
4
A =   , A =   , A =   . Ez már elegendő ahhoz, hogy
3
 0 1   0 1   0 1 
 1 2k
k
felírjuk a sejtésünket, hogy A =   ,   * esetén. Bizonyítani
k
 0 1 
 1 2(k + 1)
k
fogjuk, hogy A k+ 1 =   ,   * is igaz. Ez valóban így van, mert
 0 1 
 1 2  1 2k  1 2k + 2


k
A k+ 1 = A A =     =   . Ezzel a feladatot megoldottuk.
 0 1   0 1   0 1 
 2 1
n
2. feladat: Ha A =   , akkor számítsuk ki az A hatványt n  *
 − 1 0 
esetén!
Megoldás: Sorra kiszámítjuk, és felírjuk, hogy
 3 2   4 3   5 4 
3
A =   , A =   , A =   . Ez már elegendő ahhoz,
2
4
 − 2 − 1   − 3 − 2   − 4 − 3 
 k + 1 k 
hogy felírjuk a sejtésünket, hogy A =   ,   * esetén.
k
k
 − k − k + 1 
 k + 2 k + 1
Bizonyítani fogjuk, hogy A k+ 1 =   ,   * is igaz. Ez valóban
k
 − k − 1 − k 
 2 1  k + 1 k   k + 2 k + 1


k
így van, mert A k+ 1 = A A =     =   . Ezzel a
 − 1 0   − k − k + 1   − k − 1 − k 
feladatot megoldottuk.
 2 0
n
3. feladat: Ha A =   , akkor számítsuk ki az A hatványt n  *
 0 3 
esetén!
Megoldás: Sorra kiszámítjuk, és felírjuk, hogy
 4 0 8  0   16 0 
3
A =   , A =   , A =   . Ez már elegendő ahhoz, hogy
2
4
 0 9   0 27   0 81 
2  k 0 
felírjuk a sejtésünket, hogy A =  k  ,   * esetén. Bizonyítani
k
 0 3   k 

174