Page 134 - vol2


−
inverzióinak a számát m( ) jelöli, és az előjelét pedig az ( )  = ( 1) m ( )
adja, vagyis páros permutáció előjele +1 és a páratlané pedig -1.

Sok esetben a permutációk áthatóbb vizsgálata céljából bevezetik
a ciklusok (ciklikus permutációk) fogalmást is. Azt mondjuk, hogy az
  S permutáció egy r hosszúságú ciklus, (vagy r ciklus), ha léteznek
n

az , ,...,i i 2 i  1,2,...,n különböző számok úgy, hogy az  leszűkítése
1
r
i
az 1,2,...,n   \ i 1 , ,...,i r halmazra az identikus függvény, és
2

 ( ) i , ( ) i ,..., (i ) i , ( ) i . Az  ciklus jelölésére az
=
=

=

=
i
i
i
1 2 2 3 r− 1 r r 1
 = ( ... ) szimbólumot használjuk. Az 1 hosszúságú ciklusok az
i
i
i
1 2 r
identikus permutációk, a 2 hosszúságúak pedig a transzpozíciók (cserék).


Az  = ( ... ) S és a  = ( ... ) S ciklusok akkor
j
i
i
i
j
j
n
n
k
r
2
1
1 2
diszjunktak, ha az  , ,...,i i 2 i r  és  , ,...,j j 2 j k  halmazok is diszjunktak.
1
1
Továbbá bármely   S permutáció felbontható diszjunkt permutációk
n
szorzására sőt mi több, transzpozíciók szorzatára is.
A továbbiakban bemutatjuk néhány tanulságos, legalább másodfokú
permutációegyenlet megoldását. Mint látni fogjuk, az alkalmazott
megoldási módszerek általános esetekben is alkalmazhatók. A
bemutatásra kerülő feladatok a magasabb fokú permutációegyenletek
megoldási módszereinek jobb megértését és elmélyítését szolgálják.
1. feladat: Bizonyítsuk be, hogy nem létezik olyan xS7 permutáció,
amelyre
 1 2 3 4 5 6 7
x =  
2
 2 3 4 1 6 7 5 
Megoldás: Nyilvánvaló, hogy a bal oldali permutáció előjele +1, vagyis

 ( ) ( ( )) = + 1. A jobboldali permutáció inverziói: (1,2); (1,3);
=
x
2
x
2
(1,4); (5,6); (5,7). Mivel ezek száma 5 és ez páratlan, ezért a jobboldal
előjele -1, így az egyenlőség nem állhat fenn, vagyis a feladatnak nincs
megoldása. Ezek szerint tehát levonható egy általános jellegű
2k
következmény: annak szükséges feltétele, hogy egy x = 
permutációegyenletnek legyen megoldása az, hogy ( )  = + 1 legyen. Az
alábbiakban látni fogjuk, hogy ez a feltétel csak szükséges, de nem
elégséges.

134