Page 135 - vol2

 1 2 ... n − 1 n
2
2. feladat: Az x =   egyenletnek milyen nN*
 2 3 ... n 1 
esetén nincs egyetlenmegoldása sem az Sn halmazon?
Megoldás: Könnyen belátható, hogy a jobboldali permutáció
inverzióinak a száma n-1 és a megoldhatósághoz szükséges feltétel n-1=
2k, tehát a feladatnak nincs megoldása, ha n-1= 2k-1, vagyis ha n= 2k,
ahol kN*.
3. feladat: Határozzuk meg azokat az xS4 permutációkat amelyekre
 1 2 3 4
x =  
2
 3 2 4 1 
 1 2 3 4 
Megoldás: Keressük az x permutációt az x =   alakban.
 a b c d 
Ekkor az egyenlet alapján
 1 2 3 4  1 2 3 4   1 2 3 4
=
     . Most sorra vesszük és
 a b c d  a b c d   3 2 4 1 

letárgyaljuk az a 1,2,3,4 eseteket. A megoldás során azt, hogy az „az
i-nek megfelel j” jelöljük úgy, hogy „i → ”. A permutációk szorzási
j
szabályát alkalmazva, ha a=1 lenne, akkor 1→ 1→ 1jobboldalt pedig
1→ , tehát 1= 3 absurdum. Ha a=2, akkor 1→ 2 → b , jobboldalt pedig
3
1→ , tehát b= 3. Ekkor 2 → 3 → c, ugyanakkor 2 → , tehát c=2=a
3
2
absurdum. Ha a=3, akkor 1→ 3 → c másrészt 1→ , ezért c=3=a
3
absurdum. Ha a=4 lenne, akkor 1→ 4 → d és 1→ ahonnan d=3.
3
Ekkor 4 → 3 → c továbbá 4 → 1, ezért c=1 és nem marad más, mint
 1 2 3 4
hogy b=2. Így a kapott megoldás x =   .
 4 2 1 3 
4. feladat: Határozzuk meg azokat az xS4 permutációkat amelyekre
 1 2 3 4
x =  
4
 4 2 1 3 
Vezessük be az y = x változócserét. Az előző megoldáshoz hasonlóan
2
 1 2 3 4 
keressük az y permutációt az y =   alakban. Ekkor az
 a b c d 
 1 2 3 4
y =   egyenlet alapján
2
 4 2 1 3 

135