Page 69 - vol1

évben egy új ágat hajt. Hány ága lesz a fának 1, 2, 3, 4, 5, 6, … év múlva,
amit éppen most ültettünk.

Az ültetéskor egy ága
van a fának, és ez az is
igaz, hiszen ekkor még
nem hajt új ágat. A
második évben hajt egy
új ágat, ekkor két ága
lesz. A harmadik évben
az új ág még nem, de a
régi ág hajt egy új ágat,
így három ága lesz.
Minden évben a legalább
kétéves ágak hajtanak új
ágat, az egyévesek nem. Így az n-edik évben a fának annyival lesz több
ága, mint amennyi az (n-1)-edik évben volt, ahány ága kétéves, vagyis
ahány ága az (n-2)-ik évben volt. Belátható, hogy az egyes években az
ágak száma megint a Fibonacci-sorozat tagjai. Az ábrán a hatodok
esztendő végén az ágak végére egy-egy virágot rajzoltunk.
Az előbbiekben láttuk, hogy a Fibonacci-sorozatot eddig csak
rekurziós összefüggéssel adtuk meg. Számos próbálkozás született arra,
hogy a Fibonacci számokat képlettel adják meg. Ebből a célból írjuk fel a
rekurziós összefüggés karakterisztikus egyenletét, ami nem más,
2

mint − − 1 = 0 , ahonnan megkapjuk az általános tag képletét:

1  1 + 5  n  1 − 5  n 

f =    −   minden n N esetén
5  n   2     2   
 
Az összefüggés matematikai indukcióval is bizonyíthatjuk.
Ez a formula összefüggést teremt az aranyszám és a Fibonacci-számok
között, ugyanis
 −  n  − (1− ) n
n
n
f = =
n
5 5
A Fibonacci-sorozat egy másik fontos tulajdonsága a következő:
8
2 = ; 2 3 = ; 5 , 1 5 = , 1 666 ..; = ; 6 , 1 ... 10946 = , 1 618 ...; vagyis
1 2 3 5 6762

69