Page 68 - vol1

második hónap végén már megszülethetnek az első kicsinyek. Tegyük
fel, hogy a mi nyulaink soha nem halnak meg és hogy a
nőstények mindig új párt ellenek (1 hímet és 1 nőstényt) minden
hónapban, a második hónaptól kezdve. Fibonacci problémája: hány pár
nyúl lesz egy éven belül?
1. Az első hónap végén még csak 1 pár van.
2. A második hónap végén születik 1 új pár, így most már 2 pár van.
3. A harmadik hónap végén az eredeti nősténynek születik a második pár
nyula, így már 3 pár lesz.
4. A negyedik hónap végén az eredeti nősténynek lesz újabb kicsinye, a
második hónapban született nőstény most elli az első kicsinyeit, így
összesen már 5 pár nyúl van, és így tovább.
Az egyes hónapok végén levő nyulpárok számát a következő sorozat
tagjai adják:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…
Ez az úgynevezett Fibonacci-sorozat, ami valószínűleg a legismertebb
matematikai sorozat.
Észrevehető, hogy a sorozat tagjaira fennállnak a következő
összefüggések:
2=1+1, 3=1+2, 5=2+3, 8=3+5, 13= 5+8,…ezért
érvényes a következő rekurziós összefüggés:
f 0 = 1, f 1 = 1 és f n+1 = f n + f n-1 minden
n N esetén
*
Számos más olyan probléma van,
amelyek ugyancsak a Fibonacci-sorozathoz
vezet.
Például, a mellékelt ábrán ha az A
pontból indulunk, és csak a nyilak mentén
haladhatunk, akkor hányféle képen juthatunk el
rendre a B, C, D, E, F, G, H és I pontokba.
Belátható, hogy akkor ismét a Fibonacci-
számokat kapjuk, ugyanis a B pontba csak az
A-ból juthatunk, a C pontba akár az A-ból, akár
a B-ből eljuthatunk, a D pontba a B pontból egy
úton, a C-ből pedig két úton juthatunk el, az E pontba a D pontból egy
úton és a C pontból két úton, és így tovább
A nyulak problémájával és az előbbi problémával is rokon a
következő probléma is: Tegyük fel, hogy egy fa úgy növekszik, hogy
minden ág, a létrejöttét követő évben csak növekszik, ezután minden

68