Page 41 - vol1

Mindazon kívül, hogy a figurális számok jól szemléltetnek bizonyos
számokat, a fő tulajdonságuk az, hogy számos összefüggés szemléltetésére is
alkalmasak.

Ebben a paragrafusban azt mutatjuk meg, hogy az ókori Görögök
hogyan vontak gyököt, és hogyan oldottak meg másodfokú egyenletet figurális
számok segítségével.

A négyzetgyök kettő (a 2 ), más néven Püthagorasz-állandó, egy
pozitív, valós szám, melyet önmagával szorozva 2-t kapunk. A négyzetgyök kettő
valószínűleg az elsőként megismert irracionális szám. A geometriai jelentősége
az, hogy ez a hossza az egységnyi oldalú négyzet átlójának, ami levezethető a
Pitagorasz-tételből.

Számos módszer van a 2 közelítő értékének számolására, melyek a
kifejezéseket egész számok arányaként, vagy tizedestörtként közelítik meg. Erre
a legegyszerűbb algoritmus, amely sok számítógép és számológép alapja, a
babiloni módszer a négyzetgyök számolására. Ez a következőképp működik:

Először vegyünk egy tetszőleges becslést. A becslés pontossága nem
számít, csak azt befolyásolja, hányszor kell megismételni a lépéseket, hogy
elérjünk egy bizonyos pontosságú közelítést. Ezután használhatjuk a
becslésünket a következő rekurzív számításban:

2
F +
n
F n+ 1 = F n
2

Minél több ismétlés van az algoritmusban (egyre több számolást kell
elvégezni, egyre nagyobb n-el), annál jobb becslést kapunk a 2 közelítő
értékére.

Az ókori Görögök, az általuk bevezetett figurális számokkal roppant
ötletesen vontak négyzetgyököt is! Nézzük a következő példákat:

1. feladat: Számítsuk ki a figurálisan a 8 , 11 , 22 számok megközelítő
értékeit!

Megoldás: Az ókori Görögök a következőképpen jártak el:

41