Page 214 - vol1

1 1 1
6. példa: Számítsuk ki az S = 1+ + + + ... összeget!
10 10 2 10 3

1
Ezúttal is szorozzuk be az egyenlőség mindkét oldalát -el. Kapjuk,
10
S 1 1 1
hogy = + + + ... és így az eredeti egyenlőség alapján
10 10 10 2 10 3
S 10
S = 1 + , ahonnan S = = 1 .
1
10 9 9
Vajon helyes az eredmény? Vajon mindent helyesen csináltunk?
1 1 1
=
Nézzük a következőket: S = 1+ + + + ... 1,111.... 1,(1) 1
=
=
1
10 10 2 10 3 9
ami azt mutatja, hogy az előző eredmény helyes. De vajon az eljárás is,
ahogyan dolgoztunk, az is helyes? Nézzük csak a következő példát:
2
3
+
+
7. példa: Számítsuk ki az S = 1 10 10 + 10 + ... összeget!
Most is szorozzuk be az egyenlőség mindkét oldalát, ezúttal 10-el. Azt
kapjuk, hogy 10S = 10 10 + 10 + 10 + ... . Így az eredeti egyenlőség
3
4
2
+
alapján felírható, hogy S= 1+10 S ahonnan
1
S = −  0 ellentmondás adódik. Vajon miért is adódott, hiszen
9
ugyanúgy jártunk el, mint a 6. példa esetén? Lássuk be, hogy míg a 6.
példa esetén a sor konvergens, addig ebben az esetben divergens,
vagyis S =  ezért 10S =  így a 10S S− = − 1 egyenlőség
tulajdonképpen egy − határozatlan eset.

−
+
−
+
+
8. példa: Számítsuk ki az S = 1 1 1 1 1 1 ...összeget!
−
a) Csoportosítsunk így: S = (1 1) (1 1) (1 1) ... 0
+
−
+
−
=
+
−
−
b) Most meg így csoportosítunk: S = 1 (1 1) (1 1) ... 1
−
=
−
−
−
−
−
−
=
+
−
c) Vagy így is csoportosíthatunk: S = 1 (1 1 1 1 ...) 1 S
+
1
tehát S=1-S, ahonnan S = .
2

214