Page 215 - vol1

Mint látjuk, három féle különböző eredményt kaptunk. Az első
két esetben tulajdon képpen az 1-1-ből származó 0-kat
végtelenszer írtuk le, tehát ismét egy, ezúttal   0 határozatlan
eset fölött siklottunk el. A harmadik esetben az S-et úgy kezeltük,
mintha egy véges szám lenne (vagyis a sor konvergens lenne),
holott a sor divergens.
1 1 1
9. példa: Számítsuk ki az S = 1− + − + ... összeget!
2 3 4

Vegyük észre, hogy az összeg megközelíthető az első, illetve az első
1
két taggal így:  S  1.Másfelől
2
2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1
2S = − + − + − + ... = − 1+ − + − + ... =
1 2 3 4 5 6 1 3 2 5 3

 2 1 1  2 1  1  2 1  1 1 1
=
=
=  −  − +  −  − +  −  + ... 1− + − + ... S vagyis
 1 1  2  3 3  4  5 5  2 3 4
2S = S , ahonnan S= 0 absurdum.
−
+
−
10. példa: Számítsuk ki az S = 1 2 3 4 5 ... összeget!
−
+
+
+
+
−
+
=
+
−
+
+

Egyrészt S = 1 ( 2 3) ( 4 5) ... 1 1 1 ... 0
+
Másfelől felírható, hogy S + (2 4 6 ...) 1 3 5 ... ahonnan
=
+
+
+
+
+
+
+
S + 2 (2 4 6 ...) (1 3 5 ...) (2 4 6 ...) vagyis
+
+
=
+
+
+
+

+
+
+
+
+
+
+
S + 4 (1 2 3 4 ...) 1 2 3 4 ..., tehát

+
+
+
+
=
+
+
=
S + 3 (1 2 3 4 ...) 0 ellentmondásra jutunk.
+
+

+
+
+
+
11. példa: Számítsuk ki az S = 1 2 3 4 ... összeget!
Nyilvánvalóan S> 0. Másfelől felírható, hogy:
+
+
+
+
S = (1 3 5 ...) (2 4 6 ...) (1 3 5 ...) 2(1 2 3 4 ...) =
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
= (1 3 5 ...) 2S ahonnan S = (1 3 5 ...) 2S így
+
+
+
+
+
+
+
+
S= - (1+3+5+…)< 0, absurdum.




12. példa: Számítsuk ki a P = 1 2 3 4 ... szorzatot!

215