Page 200 - vol1

x
x
,
3. segédtétel. Bármely ,x m m 2 ,..,m  * esetén, ha m 1 | , m 1 | , .., m x ,
|
1
k
k
akkor M = [ ,m 2 ,..,m k ]| x minden k  * \   1 esetben.
m
1
Bizonyítás
Az 1. segédtétel és a 2. segédtétel alapján felírható, hogy:
m
m | x és m x  | M = [ ,m ]| x ,
1 2 2 1 2
M 2 | x és m x  3 | M = 3 [M 2 ,m 3 ]| x ,
.......................................................................

M k− 1 | x és m x  k | M = [M k− 1 ,m k ]| x , amit bizonyítani akartunk.

Következmény. Ha az m ,m ,..,m páronként relatív prím, és mindegyikük
1 2 k
osztja az x-et, akkor mm 2 ..m x .
|
1
k
Bizonyítás
Az állítás nyilvánvaló, hiszen ha az m 1 ,m 2 ,..,m páronként relatív prím, akkor
k
M = [ ,m 2 ,..,m k ] mm 2 ...m , és alkalmazzuk a 3. segédtételt.
=
m
1
k
1
Megjegyzés. Ha az m 1 ,m 2 ,..,m páronként nem relatív prím, akkor az előbbi
k
állítás nem igaz. Íme egy ellenpélda: 2 | 12, 4 | 12 és 6 | 12, de a 2 4 6 |12  hamis.
A kínai maradéktétel
Legyen c , ,...,c és m m ,...,m nullától különböző egész szám és
c
,
1 2 k 1 2 k
m ,m ,...,m páronként relatív prím. Akkor
1 2 k
(a) létezik egy olyan x szám, amelyre egy időben igaz, hogy:
−
−
−
,
|
|
m | x c m x c ,..., m x c ; (*)
1 1 2 2 k k
(b) az előző oszthatóságokat teljesítő x megoldások

x = x + mm ...m t alakúak, (**)
0 1 2 k
ahol t  tetszőleges és x a (*) oszthatóságok egy tetszőleges (úgynevezett
0
partikuláris) megoldása.
Bizonyítás

200