Page 10 - vol1
P. 10
1 m
tizenkétszög területe T = 12 = 3 (2+ 3) 11,19. És ez még több
12
2
mint a T6 értéke. Természetesen merül fel a kérdés: kaphatunk-e még a
T12-nél is nagyobb számot? Az intuíciónk azt sugallja, hogy nem
valószínű! De hogyan bizonyíthatnánk? Nem túl könnyen, hiszen az
elemzésünk során a matematikának egy kevésbé elemi témakörébe
csöppentünk, az úgynevezett izoperimetrikus probléma témakörébe.
Pillantsunk hát bele ennek a területnek azon részeibe amelyek számunkra
most fontosak.
A síkbeli izoperimetrikus probléma rövid ismertetése:
Az „izoperimetrikus” szó az izo = állandó, periméter = kerület
szóösszetételből ered.
Egyszerűen fogalmazva, a probléma a következő:
a) Mekkora területet lehet körülkeríteni egy adott hosszúságú
kötéllel?
b) Adott hosszúságú kötél által határolt síkidomok közül melyiknek
a legnagyobb a területe?
c) Adott kerületű síkidomok közül melyiknek a legnagyobb a
területe?
Közöttük csupán formai, megfogalmazásbeli különbség van, a választ
mindegyikre hasonló módon adhatjuk meg.
A síkbeli izoperimetrikus tétel a következő:
1. Tétel: Az ugyanakkora kerületű síkidomok közül a kör területe a
legnagyobb. A tétel amilyen egyszerűen és nagyszerűen „hangzik”,
ennek ellenére, a mai napig nem született rá igazán elemi bizonyítás.
Mielőtt a probléma, és a tétel történelmi vonatkozásáról írnánk,
fogalmazzunk meg a sokszögek izoperimetrikus tételei közül kettőt:
2. Tétel: Adott oldalszámú és adott kerületű sokszögek közül a szabályos
sokszög a legnagyobb területű.
3. Tétel: Adott, ugyanakkora kerületű sokszögek közül, nincs egy
legnagyobb területű. Részletesebben fogalmazva, egy többetmondó
eredmény: Egy ugyanakkora kerületű n-oldalú és (n+1)-oldalú szabályos
sokszögek közül az utóbbinak a területe a nagyobb. Ez utóbbi
kijelentésnek mondjuk van némi intuitív alapja is, hiszen ha egy adott
körbe egyre nagyobb oldalszámmal rendelkező szabályos sokszöget
írunk, akkor ennek a területe egyre „közelebb kerül” a kör területéhez, de
az 1. Tétel értemében ezt nem éri el.
Mindenek előtt lássunk azonban néhány történelmi áttekintést.
10
