Page 8 - vol1

(7) (8) (9) (10) (11)

Az (1) -(11) ábrákon látható sokszögek területei rendre: 9; 8; 7; 6; 5; 4;
3 3
4 −  3,14 ; 3, 3−  2,14 ; 2; 3 1,73 gyufanégyzet.
2 2
Figyelemmel kísérve, hogy a kirakott alakzatok területük és formájuk
még nagyon sokféle képpen változhat, természetesen tehetünk fel néhány
kérdést.
Kérdések az előző gyufarejtvény kapcsán:
1) Vajon mekkora lehet a legkisebb kirakható, 12 egység kerületű
alakzatnak a területe?
2) Vajon mekkora lehet a legnagyobb kirakható, 12 egység kerületű
alakzatnak a területe?
3) Az illető korlátok között vajon milyen területértékeket vehetnek fel
konkrétan a kirakott, 12 egység kerületű alakzatok?
Próbálkozások és kísérletezések:
A bemutatott 11 ábra alakzatainak szerkesztése alapján aligha akad olyan
ötletünk, amellyel biztosan eldönthetnénk, hogy mikor is értünk el a
legkisebb területű sokszöghöz. Más kísérletezési utat kell választanunk.
Erre talán tippet adhat a bemutatott gyufafeladvány negyedik
megoldásánál levő paralelogramma. Vagy éppen egy más
paralelogramma. Hogy miért? Azonnal meglátjuk. Az (1) ábra 3×3-as
négyzete helyett tekintsünk egy
3×3-as paralelogrammát. Ezt
tekintsük úgy, hogy a 4 sarkában
(és csak itt) „csuklósan
mozgatható”. Ekkor tehát akár a
paralelogramma hegyesszögének  mértékét változtatjuk, akár a
paralelogramma x magasságának a hosszát. Ha ez utóbbit választjuk,
akkor a paralelogramma területe T = 3∙ x gyufanégyzet. Tekintsük az f:
(0; 3] → (0; 9] és f(x)= 3∙ x képlettel értelmezett függvényt. Könnyen
ellenőrizhetjük, hogy bármely T  (0; 9] területmértéket kifejező szám
esetén létezik olyan x (0; 3] amelyre T= 3∙x, ez a létező x érték éppen az
T
előre megválasztott T-re számítva x =  (0; 3]. Ezáltal tulajdonképpen
3
az f függvény szürjektivítását ellenőriztük, és három fontos
következtetést vonhatunk le:

8