Page 8 - Mutatvany - Tuzson Zoltan - Tippek, trukkok, otletek - II

(4) Az M pont a BC szakaszon a C-hez közelebb eső harmadoló pont, ezért
b  2c b  2c
m   .
1 2 3

(5) Ahhoz, hogy a g, i, m pontok kollineárisak legyenek elegendő ha lé-
g   m 1 
tezik olyan  valós szám amelyre i   g  m .
1  1    1
(6) Ha az (1) és (2) alapján az g-be beírjuk az a kifejezését, akkor azt kap-
2 2 1
juk, hogy g  b  d  c .
3 3 3
(7) Ha most az (5)-ben az i, g, m affixumok helyére beírjuk a (3), (4), (6)
eredménye alapján kifejezett affixumokat, rövid számolásokkal adódik,

d
hogy(  2)(b  3c  2 ) 0 , ahonnan   . Tehát létezik a kért  valós
2
szám. Ez tehát még azt is elárulja, hogy amellett, hogy G, I, M kollineári-
sak, és még a GI:IM=2:1 arány is fennáll.
3. Megoldás koordinátákkal
A szóbanforgó pontok koordinátái legyenek rendre, A (x y A )
,
A
)
x
,
,
,
( B x y B ) , C (x y C ) , D (x y D ) , G (x y G ) , I ( , y , M (x M , y M ) .
,
G
C
D
B
I
I
A következő ismert összefüggéseket írhatjuk fel:
x  x x  x
(1) ABCD paralelogramma átlói felezik egymást: A C  B D és
2 2
y  y y  y
A C  B D , ahonnan x  x  x  x és y  y  y  y .
2 2 A B D C A B D C
x  x  x D
A
B
,
(2) Az ABD háromszögben (G x y ) súlypont, ezért x 
G G G
3
y  y  y
és y  A B D .
G
3
(3) A BCD háromszögben I beleírt kör középpontja (szögfelezők metszés-
4
2
3
pontja) és BC  , CD  , DB  , ezért

BC x  CD x  BD x 2x  4x  3x


x  D B C  D B C 
I
BC  CD  BD 2 4 3


2x  4x  3x 4 3 2
 D B C  x  x  x .
D
B
C
2 4 3 9 9 9


18