Page 7 - Mutatvany - Tuzson Zoltan - Tippek, trukkok, otletek - II

  
 OA OB OD


(2) Az ABD háromszögben G súlypont, ezért OG  .
3
(3) A BCD háromszögben I a beleírt kör középpontja (szögfelezők met-



széspontja) és BC 2 , CD 4 , DB 3 , ezért:
        
 OD BC  OB CD  OC BD 2OD  4OB  3OC
OI      


BC  CD  BD 2 4 3
  
2OD  4OB  3OC 4  3  2 
  OB  OC  OD .
9 9 9 9
(4) Az M pont a BC szakaszon a C csúcshoz közelebb eső harmadoló pont,


 OB  2OC 1  2 
ezért OM   OB  OC .
1 2 3 3

(5) Ahhoz, hogy G, I, M pontok kollineárisak legyenek elegendő, ha létezik


 OG   OM 1   
olyan  valós szám amelyre OI   OG  OM .
1  1    1
 
(6) Ha az (1) és (2) alapján az OG -be beírjuk az OA kifejezését, akkor
 2  2  1 
azt kapjuk, hogy OG  OB  OD  OC .
3 3 3
  
(7) Ha most az (5)-ben az OI , OG , OM helyére beírjuk a (3), (4), (6)
eredménye alapján kifejezett vektorokat, rövid számolással adódik, hogy
  
2
(  2)(OB  3OC  2OD ) 0 , ahonnan   . Tehát létezik a kért  va-

lós szám. Ez tehát még azt is elárulja, hogy amellett, hogy G, I, M kolli-
neárisak, még a GI IM  2:1 arány is fennáll.
:
2. Megoldás komplex számokkal
Legyenek tehát a, b, c, d, g, i, m az A, B, C, D, G, I, M csúcsokhoz
rendelt komplex számok (affixumok).



(1) ABCD paralelogramma, ezért a c b d ahonnan a b  d  c .

a b c


(2) Az ABD háromszögben G súlypont, ezért g  .
3
(3) A BCD háromszögben I beleírt kör középpontja (szögfelezők metszés-
4b  3c  2d 4b  3c  2d
3
4
2
pontja) és BC  , CD  , DB  , ezért i   .


4 3 2 9
17