Page 15 - Mutatvany - Tuzson Zoltan - Tippek, trukkok, otletek - II

Megoldott feladatok

3
5
1
1. A valós számok halmazán oldjuk meg a 2x   3 x  5  irracioná-
lis egyenletet.
Megoldás
Az ilyen egyenleteknek két klasszikus megoldása is van. Az első: köbre
3
3
3
3
c
emelve az a  3 b  egyenlőséget, c  a b  3 ab ( a  3 ) b 

3
3
 c  a b  3c ab alakú egyenletet kapjuk, amelynek mind a két ol-

dalát köbre emelve, egy harmadfokú egyenlettel találjuk szembe magun-
kat, de ennek a megoldása nem mindig könnyű. A második: jelölje
3
3
5
1,

u  3 2x  v  3 x  5 , így u v  és u  2v  egyenletrendszert
9
3
3
kapjuk, amit helyettesítéssel elkezdve, az (5 v )  2v  harmadfokú
9
egyenlethez jutunk. Ennek megoldása megint nem túl egyszerű, a szabad
tag osztói között kell egész megoldásokat keressünk. De itt a harmadik mód-
x
x
g
x
f

1
5
szer: vegyük észre, hogy az ( ) 2x  és ( )   elsőfokú függ-
vények monoton növekvőek az egész valós számhalmazon, így az
1
x
F ( )  3 2x   3 x  5 összetett függvény is szigorúan növekvő lesz,
F
ezért F injektív lesz, és ha valamilyen x értékre ( ) 5, akkor csak leg-
x

feljebb egyetlen egy ilyen x érték létezik. Vegyük észre, hogy teljes köbö-
ket keresve az x  13 éppen megoldás, így ez lesz az egyetlen megoldás.
Belátható, hogy ezt a megoldást a harmadfokú egyenletek megoldása so-
rán nem fedezhettük volna fel könnyűszerrel.
A bemutatott megoldási módszert érdemes észben tartani, mert nem
csak irracionális egyenletek oldhatók meg ezzel a monotonítási módszer-
x
rel, hanem minden olyan F ( ) a  állandó alakú egyenlet, ahol az F

függvény vagy szigorúan növekvő, vagy szigorúan csökkenő.
2. A valós számok halmazán oldjuk meg a következő trigonometrikus
egyenletet:
sin x  sin3x  sin5x  cos x  cos3x  cos5x .
32