Page 17 - Mutatvany - Tuzson Zoltan - Tippek, trukkok, otletek - II

22. A valós számok halmazán oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget:
7
x  9  x  x  9   y .
Megoldás
9
0
Az értelmezési tartomány x  és y  . Ekkor próbáljuk felbe-
3
csülni, hogy x  9  x  x  9  18  , és vizsgáljuk meg, hogy
0

18  3 7 igaz-e? Valóban, 18   18 16 , ezért, mivel y  ,
4
így 7  x  9  x  x  9   y ami ellentmondás, tehát a feladat-
7
nak nincs megoldása.
23. Határozzuk meg azokat az x, y, z pozitív valós számokat, amelyekre
2
3
3
3
2
2
x
z
x  y  z   y  és x  y  z  xyz .
Megoldás
A kifejezések láttán eszünkbe juthatnak a középarányos egyenlőtlen-
2
3
3
2
x   z x  y  z 2 x  y  z 3
y
3
3 3
3
ségek, mint például  és x y z  .
3 3 3
2
 x    z
y
2
2
2
Ezek alapján például felírhatók, hogy  x  y  z 
3
3
3

x  y  z 3 x  y z
1
y
z
 xyz   , ahonnan azt kapjuk, hogy x    .
3 3
2
2
2
2


De ekkor (x  y  z 2 )(1) (x  y  z 2 )(x  y  z ) 9xyz  xyz ami el-
2
2
2
lentmond az x  y  z  xyz egyenletnek. Ezért az egyenlet rendsze-
rünknek nincsen megoldása.
2
2
2
24. Oldjuk meg az xy  y  x  xy  2x  y  0 egyenletet az egész
számok halmazán.
Megoldás
2
2
2
y
Az egyenletet x szerint rendezzük: x  (y   2)x  (y  ) y  0,
3
2
4
vagyis egész x megoldásai vannak, ezért   y  2y  y  4 teljes
2
négyzet kell legyen. Ha k  y  , akkor y  1,0  esetén
y
4
2
2
3
2

k  y  2y  y  4 (k  1) ami ellentmondás. Tehát y  1,0  kell
legyen, ahonnan x 0, 2  .
50