Page 14 - Mutatvany - Tuzson Zoltan - Tippek, trukkok, otletek - II

6. példa
2





Milyen x számra igaz, hogy 2020 2021 2022 2023 1 x ?
Megoldás
Ebben az esetben is könnyebb az általános feladat megoldása, így

felírható, hogy n (n  1)(n  2)(n  3) 1  (n n  3) (n  1)(n  2)  1 
2
2
2
2
2
2
2

n


n

n
 (n  3 )(n  3n  2) 1 (n  3 )  2(n  3 ) 1 (n  3n  1) .
Ha most a specializálás gondolkodási műveletet alkalmazzuk, akkor
2
2






felírhatjuk, hogy 2020 2021 2022 2023 1 (2020  3 2020 1) .

A következő feladat megoldása különösképpen az általánosítást, de
emellett összehasonlítást, összefüggések felfogását és indukciót is igé-
nyel.
7. példa
Az egymás utáni páratlan természetes számokat így csoportosítottuk:
(1), (3;5), (7;9;11), (13;15;17;19),...Mennyi az n-edik ilyen zárójelben

szereplő számok összege, ha n ?
Megoldás
Vegyük észre, hogy zárójelenként megfigyelhető, hogy 1 1 3 ,
3
3
3











3 5 8 2 , 7 9 11 27 3 , 13 15 17 19 64 4 és így to-

3
vább. Így hát az n-edik zárójelben levő számok összege éppen n lesz.
Nézzünk néhány olyan feladatot is, amelynek a megoldásánál az ösz-
szehasonlítás és a rendezés gondolkodási műveletek vannak túlsúlyban.
8. példa

8
3
Oldjuk meg a 0,2 intervallumon a sin x  cos x  1 egyenletet.
Megoldás
Minden bizonnyal most a leghamarabb az juthat eszünkbe, hogy
2
2
sin x  cos x  1, valamint az, hogy sin ,cos x  1,1  . Ez éppen elég
x
8
3
2
2

ahhoz, hogy felírjuk 1 sin x  cos x  sin x  cos x  1, ami azt je-
3
2
2
8
x
lenti, hogy sin x  sin x  sin (sin x  1)  , és cos x  cos x 
0



6
2
 cos x (cos x  1) 0, így azonnal látszik, hogy x  0, , ,2  .


 2 
24