Page 18 - Mutatvany - Tuzson Zoltan - Tippek, trukkok, otletek - II

2
2
x
x

x

131. Oldjuk meg a cos (35 ) sin (34 ) sin(69 )sin x  cos68x egyen-
letet.
Megoldás
A szögek láttán arra gondolhatunk, hogy érdemes változócserét al-
kalmaznunk, akár két változót is kicserélhetünk: a  35x , b  34x . Ekkor
2
2


az egyenlet így alakul: cos a  sin b  sin(a b )sin(a b ) cos(2 ) ,
b

2
2
2
2
2
2
ami még így is felírható: cos a  sin b  sin a cos b  cos a sin b 
2
2
2
2
2
2
2
 cos b  sin b , azaz 2sin b  (sin a  1)cos b  cos a (sin b  1) 0 

n
2
0
 2sin b  , így x  , n .
34
3
3
132. Az egész számok halmazán oldjuk meg az y  x   0 egyenletet.
x
Megoldás
3
3
Az egyenlet még így írható: y  x  . Belátható, hogy x   0
x
y
megoldás. A harmadfokú kifejezések láttán az a klasszikus ötletünk tá-
0
mad, hogy a kifejezést két teljes köb közé szorítsuk. Ha x   y  0,
3
3
3
3
x
akkor x  y  x   (x  1) , tehát nincs pozitív megoldás. Ha viszont
0
y
x  0  y  , akkor az x   , y   változócserékkel az egyenlet
x
alakja nem változik, tehát ezt az esetet is letárgyaltuk. Tehát nincs más
0
megoldás mint x   .
y
133. A valós számok halmazán oldjuk meg a következő egyenletet:
2

x  5  x  2x  15 2 x  5x .
Megoldás
A kifejezések láttán nincs semmi esélyünk, ha négyzetre akarnánk
emelni, ellenben teljesen jogos a változócsere, hiszen ha x   , és
a
5
2

b
x  , akkor x  5x  ab , ezért az egyenlet így alakul: a b 
2
2
2
 a  5 b  15 2ab , vagyis (a b  (a b ) 20 0 , így a b 



)



5

2
2
az egyetlen pozitív megoldás. De a  b  5  a b  1, így összegezve

2a   a   b   x  , és ez teljesíti is az egyenletet, ezzel
3
2
4
6
megoldottuk a feladatot.
98