Page 19 - Mutatvany - Tuzson Zoltan - Tippek, trukkok, otletek - II

0;1
y
287. Ha , , z  , akkor mennyi a következő kifejezés legnagyobb ér-
x
2
2
2
2
2
2


téke E  x 1 y  y 1 x  y 1 z  z 1 y  z 1 x  x 1 z ?




Megoldás
A kifejezések láttán ésszerű a következő változócsere x  sin a ,
 
y  sinb , z  sinc , ahol , ,c  0;  . Ekkor az egyenlet így alakul:
a
b
 2 
b
c
b
c
a
E  sin cosb  sin cosa  sin cosc  sin cosb  sin cosa  sin cos ,
a
c

)


vagyis E  sin(a b ) sin(b c ) sin(a c . Innen összevonással pedig






a b a b a b  a b 
azt kapjuk, hogy E  2sin cos  2sin cos c   

2 2 2  2 



a b a c b c
 4sin cos cos  4.
2 2 2
n
288. Melyek azok az n értékek, amelyekre n  2  1 osztható 3-mal?
Megoldás
Tudjuk, hogy minden n szám felírható n  6k  , r
n




r  0;1;2;3;4;5 alakok valamelyikében. Így n 2  1 (6k r )2 6k r  1




 M 3 r  2 6k r  1 M 3 r  (3 1) 6k r  1 M 3 r  ( 1) 6k r  1, és ez







akkor és csakis akkor lesz 3-nak a többszöröse, ha r  1,3;5 , vagyis a

megoldás n  6k  , r r  1,3;5 , k  .
3
3
289. Az egész számok halmazán oldjuk meg az x  y  6xy  egyenletet.
8
Megoldás
3
3
3
Eszünkbe juthat a következő számolási képlet a  b  c  3abc 
1
2
2
2
2
2

 (a b c )(a  b  c  ab bc ca ) (a b c  ) (a b )  (b c  (c a ) 2 .
)







2
3
3
3
3
3


Ekkor, mivel x  y  6xy   x  y  ( 2)  3 ( 2) 0 , ezért a
x

8
y
2
2
2
y

képlet alapján (x   2)((x  ) y  (x  2)  (y  2) ) 0 , ahonnan


y
vagy x   2 0  x  , y  2 k , k  , vagy a másik zárójel
k
2
2
2
0
2
y
nulla, vagyis (x  ) y  (x  2)  (y  2)   x    .
160