Page 20 - Mutatvany - Tuzson Zoltan - Tippek, trukkok, otletek - II
P. 20
Függelék
A heurisztikus okoskodás szempontjából, két érdekes témát dolgo-
zunk fel mindkettő az egyenlőtlenségek témakörből. Az első, algebrai
egyenlőtlenségekkel kapcsolatos, a második pedig trigonometriai egyen-
lőtlenségekkel.
1. Variációk egy algebrai egyenlőtlenség kapcsán
Mint a régebbi, mint az újabb alternatív tankönyvekben valamint szá-
mos feladatgyűjteményben, a matematikai indukció tanítása fejezetben
megtalálható a következő feladat:
1. feladat. Mutassuk meg, hogy bármely n 1 természetes szám esetén
1 3 5 ... (2n 3) (2n 1) 1
igaz az egyenlőtlenség.
2 4 6 ... (2n 2) (2 ) 2n 1
n
Megoldás
A feladat egymagában nem rejt semmilyen nehézséget, matematikai
1 1
indukcióval könnyen megoldható, hiszen n esetben nyilván-
1
2 3
valóan igaz, és a matematikai indukció szerint elegendő ha belátjuk, hogy
1 2n 1 1
2
fennáll az (2n 1)(2n 3) (2n 2)
2n 1 2n 2 2n 3
3 4 ami igaz állítás. Ellenben létezik egy nagyon egyszerű és ötletes
2
2
2
k
direkt bizonyítás is: 4k 1 4k (2k 1)(2k 1) (2 ) , és össze-
szorozva ezeket az egyenlőtlenségeket k 1,2,...,n értékekre éppen a
kért egyenlőtlenség négyzete adódik.
Az előbbi feladat kapcsán a következő feladattal is találkozhatunk.
1
2. feladat. Mutassuk meg, hogy bármely n természetes szám esetén
1 3 5 ... (2n 3) (2n 1) 1
igaz az egyenlőtlenség.
2 4 6 ... (2n 2) (2 ) 2n
n
173
