Page 175 - vol2

2  k+ 1 0 
fogjuk, hogy A k+ 1 =   ,   * is igaz. Ez valóban így van, mert
k
 0 3 k+ 1   
 2 0  2 k 0  2  k+ 1 0 


k
A k+ 1 = A A =      =   . Ezzel a feladatot megoldottuk.
k
 0 3    0 3     0 3 k+ 1  
 1 2
n
4. feladat: Ha A =   , akkor számítsuk ki az A hatványt n  *
 0 3 
esetén!

Megoldás: Sorra kiszámítjuk, és felírjuk, hogy
 1 8  1 26  1 80
4
3
A =   , A =   , A =   . Ha jól megfigyeljük az elemeket,
2
 0 9   0 27   0 81 
 1 3 − 1
k
akkor a következő sejtésünk alakulhat ki: A =  k  ,   *
k
0  3 k   
 1 3 k+ 1 − 1
k
esetén. Bizonyítani fogjuk, hogy A k+ 1 =   ,   * is igaz. Ez
0  3 k+ 1   
1 2  1 3 −  k 1  1 3 k+ 1 − 1


k
valóban így van, mert A k+ 1 = A A =      =   .
 0 3  0   3 k   0   3 k+ 1  
Ezzel a feladatot megoldottuk.
Megjegyzés: a feladatunk könnyűszerrel általánosítható, éspedig, ha
a  b 
A =   , ,b a akkor indukcióval könnyűszerrel igazolható, hogy
+
 0 a b 
 a n (a b+ ) − n 1 
n
A =  ,   n * . A bizonyítás elvégzését az érdeklődő
  0 (a b+ ) n  
Olvasóra bízzuk!

 1 1 *
5. feladat: Ha A =   , akkor számítsuk ki az A hatványt n 
n
 − 1 1 
esetén!

175