Page 16 - Tippek 11-12 o

ln x
x
f
azaz az ( )  függvény monotonitásának a tanulmányozásához ve-
x
zet. A monotonitás tanulmányozására a legalkalmasabb a deriválás. Mivel
1 ln x



f '( )  pozitív, ha x 0,e , és negatív ha x  ;e  , így az első
x
x 2
esetben a függvény szigorúan növekvő, a második esetben szigorúan csök-

e
e

kenő. Tehát mivel e e    f ( )  f ( )  e   , és mivel
 e
f
e 
e
0  e    , ezért      e   . Ezzel a c)
f

pontot is igazoltuk, és általánosítottuk a feladatot is, a következőképpen:
b a b a



ha 0 a b e , akkor a  b (nyilván a  b is teljesül), ha pe-
b a b a

dig e a b , akkor a  b (nyilván a  b is teljesül).

1 1 1 1
7. Számítsuk ki az E      ... egész részét.
1
2 3 4 10000
Megoldás
A megoldás alapötlete az, hogy olyan a és b számokat találjunk, ame-



lyekre a E b és b a  1, mert így meghatározható a kért   E egész
rész. Ilyen dupla egyenlőtlenségek „gyártására” alkalmas a Lagrange-té-

tel, miszerint, ha f  : ,a b   folytonos és deriválható, akkor létezik
f ( )  f ( )
a
b

olyan c  ,a b amelyre  f '( ) , és ha például '( )f x csök-
c
b a

a
f ( )  f ( )
b
kenő függvény, akkor f '( )   f '( ) (*) (növekvő függ-
b
a

b a
1
f
x
vény esetén fordított az egyenlőtlenség). Esetünkben '( )  kell le-
x
gyen, ezért célszerű az f  : ,k k   1 , ( )f x  x , függvény kiválasztása.
1
A függvényre felírva a (*) egyenlőtlenségeket azt kapjuk, hogy 
2 k  1
1 1
 k  1  k  , ahonnan 2 k  1 2 k   2 k  2 k  és

1,
2 k k
39