Page 17 - Tippek 11-12 o


k
ha most összegezzük ezeket az egyenlőtlenségeket   n esetén, azt
2,
n 1

1
kapjuk, hogy 2 n  1 2 2 1 1   2 n  , és ha behelyette-


k 2 k

sítjük az n  10000 értéket, akkor azt kapjuk, hogy 2 n  1 199 és










2 n  1 2 2 1 2 10001 2 2 1 2 100  8 1 200 3 1 198.


Tehát 198 E  199 , ezért   198.


E
y
x
2
y
y
8. Ha x   egész számok, oldjuk meg az x   y  egyenletet.
x
Megoldás
A kifejezések láttán ésszerű, hogy tekintsük a következő függvényt

lnt 1 lnt


f
t

f  : 3;   , ( )f t  . Mivel '( )   0 , t  3; , ezért
t t 2
y
az f függvény monoton csökkenő, tehát x   ( )f x  f ( ) 
y
x
y
x
y
y
y
 x  y , vagyis x   x  y  0  x  , ami ellentmondás, te-
hát a feladatnak nincs 2-nél nagyobb egész megoldása.
1 1 1
1   
2 3 n
9. Számítsuk ki a L  lim határértéket.
n n
Megoldás
A kifejezés láttán azonnal próbálkozhatunk a Stolz-Césaro-lemmával:
 1 1 1 1   1 1 1 

 1 2    n  n    1 2     1
3
3
L  lim  1   n   lim  0.
n n   1  n n n  1
Egy másik megoldás az Euler-állandó felhasználásával adható, mi-
 1 1 1 
szerint lim  1     ln n  C , ezért azonnal felírható, hogy

n  2 3 n 
1
 1   1 
 1 2 3  n ln n  C
lim     lim  0 .
n n n n n
 
 
40