Page 11 - Tippek 11-12 o

Megoldott feladatok


2

1

a
1. Számítsuk ki az ,b számokat, ha lim  x  1 ax b  .
x
Megoldás
A lim típusú határtértékeknél gyakori megoldási módszer az ún.
x
 1 b 
erőltetett tényező módszere. Felírható, hogy lim x  1  a    1.
x  x 2 x 
 

Látható, hogy a bal oldal határértéke a   1 , és ennek értéke csak akkor

lehet 1, ha a  1 0, ellenkező esetben  lenne. Visszaírjuk az a   1

2
értéket, és azt kapjuk, hogy lim  x  1 (x b  . Mivel ez   
)
1


x

2bx  1 b 2
típusú határozatlan eset, bővítünk a konjugálttal: lim  1,
x 2

x  1  x b

1 b 2
2b  2b
vagyis lim x  1, ahonnan  1  b  1.
x 1 b 2
1  1
x 2 x

2


1
Van egy másik megoldás is: hogyha lim  x  1 ax b  , ez azt
x
0
0
jelenti, hogy a  . Legyen a   , c  , és ismét a konjugálttal bővítve
c

1 c x 2  2  2bx  1 b 2
azt kapjuk, hogy lim  1. Észrevehető, hogy ha
x 2

x  1 cx b

2
c  1, akkor a számláló másodfokú, a nevező elsőfokú, így nem lehet a
2
1
0
határérték 1. Tehát c  , c   c  1, és így a már tárgyalt

1 b 2
2b 
2
2bx  1 b x

lim  1, illetve lim  1 határértékhez ju-
x 2 x 1 b
x  1 x b


1  1
x 2 x
tunk, ahonnan b  1.
34