Page 14 - Tippek 11-12 o


1 i 3 3
hogy z  elégítse ki például a  z   1 P ( ) 0 , vagy a
z

2
2
 z    1 P ( ) 0 egyenletet, persze az álcázásért, az egyenletbeli szor-
z

z
zásokat elvégezzük, hogy így eltakarhassuk a feladat eredetét.

4. Ha a  2 és a  2 a minden n esetén, számítsuk ki

1 n 1 n
 
n

L  lim2  2  2  2 ... 2  , ha a gyökök száma n  1.
n  
 
Megoldás

Az a  2 láttán könnyen eszünkbe juthat, hogy a  2cos segít-
1 1
4
 2  
ségünkre lehet, ugyanis a  2 2cos  2 2cos  2cos . Ezért


2
4 8 8
induktívan gondolkodva azt vesszük észre, hogy feltehető, hogy

a  2cos . Az a  2 a alapján pedig belátható, hogy ez igaz,

n n 1 n 1 n
2

hiszen a  2cos adódik. Ezt behelyettesítve felírható, hogy
n 1 n 2
2

sin
 n 1   2 n 1
L  lim 2 2cos  lim2 sin   lim   .

n 2 n n 2 n 1 n 
2 n 1
5. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:








a 3 (x b )(x c )(x d ) b 3 (x a )(x c )(x d ) c 3 (x a )(x b )(x d )

  


(a b )(a c )(a d ) (b a )(b c )(b d ) (c a )(c b )(c d )







d 3 (x a )(x b )(x c ) 3



  x , ahol a, b, c, d egymástól különböző rögzí-
(d  a )(d  b )(d  ) c
tett valós számok.
Megoldás
Belátható, hogy a kifejezést nem nehéz közös nevezőre hozni, ellen-
ben az is látható, hogy egy olyan harmadfokú egyenletet kapunk,
37