Page 18 - Tippek 11-12 o

1 1 1
1   
2 3 n
Egy harmadik megoldás a fogótétellel adható: lim 
n n
1 1 1  1 1
1   1  1

2 2 n 2 2 1 ( n n  1) n
 lim  lim  lim  0.
n n n n n n
Ugyancsak a fogótétellel adható még egy bizonyítás, ha indukcióval
1 1 1
(vagy másképpen) igazoljuk, hogy 1     n , mert így
2 3 n
1 1 1
1    n
lim 2 3 n  lim  0.
n n n n
n
1
10. Számítsuk ki az I     x dx , n integrált, ahol   a az a valós
0 2
szám egész része.

Megoldás
k
Mivel   x   x  ,k k   1 , ezért az integrált így bontjuk fel:
1 2 3 n
1 1 1 1 1 1 1 1
1
I  0  dx  1  dx  2  dx    dx     ...  1 .
...
2 2 2 2 n 1 2 2 2 2 n 1  2 n
0 1 2 n 1
11. Ha f  : 0,b a  0,   folytonos és a b , akkor mennyi az
b
( f x a )

I   dx integrál?


)
a ( f x a  ( f b x )
Megoldás
b ( f b x )

Ésszerűnek látszik, hogy a társintegrál J   dx

)

a ( f x a  ( f b x )
b
legyen, mert így I  J   1dx b a . Továbbá az I -ben legyen


a


b ( f b t ) b a

J


x a b t , így I  a  ( f b t  ( f t  ) a dt  Tehát I  J  2 .

)
41