Page 20 - Tippek 11-12 o

Megoldás

 k 
Próbáljunk az ( )A a szorzására egy A   alakú fix mátrixot ke-
 30 
 k   k 
resni, amelyre ( )A a A    A   . Az ( )A a alakja miatt olyan mát-
 30   30 
rixra lenne szükség amelyben a négy elem egyenlő szám legyen. Nem ne-
k 15 1
héz belátni, hogy a alakú törtek közül az egyetlen ilyen a  , és
30 30 2

 1 1   1 1 
 1   2 2   1    a  1 a   2 2 
A
erre A      . Ekkor   a A        
 2   1 1   2   a  a  1   1 1 
   
 2 2   2 2 
 1 1 
 2 2   1 
    A   . Tehát ezen tulajdonság ismételt alkalmazásával azt
 1 1   2 
 
 2 2 
 1 1 
 1   2   30   1   2 2 
kapjuk, hogy P  A      A    A      .
A
 30   30   30   2   1 1 
 
 2 2 
3
n n  1
246. Számítsuk ki az L  lim  határértéket.
3
n 2 n  1
n
Megoldás
2
2
3
3
n

n
Mivel n  1 (n  1)(n   1) és n  1 (n  1)(n   1) , ezért

n n  1 2
látható, hogy   , ugyanis ez egy teleszkopikus szorzat.
k 2 n  1 ( n n  1)
2
n (k  1)  (k  1) 1

2
2

Mivel k   1 (k  1)  (k  1) 1, ezért  2 
k

k
k 2 k   1
2
2
3
n   1 n n  1 2 n   1 2
n
n
 , és ennek alapján L  lim   lim  .
3
2
3 n n 2 n  1 3 n n  n 3
155