Page 12 - Tippek 11-12 o



 x  y z t  10
 2 2 2 2
 x  y  z  t  30
2. Határozzuk meg az  3 3 3 3 egyenletrendszer összes
 x  y  z  t  100

 xyzt  4 2
valós megoldását.
Megoldás
A klasszikus elméletet követve a gyökök és együtthatók közötti
3
4
2
Viète-összefüggések alapján, egy r  s r  s r  s r  s  0 alakú
1 2 3 4


x
egyenlettel van dolgunk, és ezt kell megoldanunk, ahol s   y z t ,
1
s  xy xz  xt  yz  yt  zt , s  xyz  xyt  yzt  xzt és s  xyzt . Az

2 3 4
adott összefüggések alapján az s  xyz  xyt  yzt  xzt meghatározása
3
2
3
4

eléggé nehézkes, de emellett a kapott r  10r  35r  50r  24 0
egyenlet megoldása eléggé hosszadalmas, ha figyelembe vesszük, hogy az
egész gyökök kereséséhez a 24 osztóit kellene kipróbálni.


Keressünk egy gyorsabb megoldást. Mivel 24 1 2 3 4 , ezért arra


gondolhatunk, hogy hátha az (1,2,3,4) számnégyes megoldás lenne, és
valóban az. De vajon honnan és hogyan kerülnek elő a további megoldá-
sok? Nagyon ötletesen, először vegyük észre, hogy az (1,2,3,4) számné-
gyesnek éppen 4! 24 permutációja van. És mivel az egyenletrendsze-

rünk szimmetrikus ( , , , )x y z t -ben, ezért mind a 24 számnégyes is megol-
dása az egyenletrendszernek. Vajon ezeken kívül van-e más megoldás?
2
2
2
2
A válasz azonnali, mert az x y z t    10 , x  y  z  t  30 ,
3
3
3
3
x  y  z  t  100 , xyzt  24 egyenletrendszerben az egyenletek fok-
számának a szorzata éppen 1 2 3 4 24 , ami azt jelenti, hogy az egyen-




letrendszernek pontosan 24 megoldása van, és ezeket már megtaláltuk: az
(1,2,3,4) számnégyes összes permutációja.
1 i 3

3. Bizonyítsuk be, hogy a z  komplex szám, kielégíti a
2
4
5
2
3
2z  3z  2z  2z  3z  2 0 egyenletet.

35