Page 21 - Tippek 11-12 o

n 1
358. Ha a  lim  , akkor mivel egyenlő L  lim ma  ?
m
n k m k 2 m m

Megoldás
Eléggé zavaróan hat az, hogy tulajdonképpen két határértékkel állunk
1
szembe. Viszont az kifejezés láttán eszünkbe juthat a következő fogó:
k 2
1 1 1
  , és ha most összegezünk k szerint, akkor azt kap-
( k k  1) k 2 ( k k  1)
1 1 n 1 1 1
juk, hogy    2   . Így, ha n szerint határértékre té-
m n  1 m k m  1 n
1 1
rünk, akkor  a  , ahonnan L  lim ma m  1 .
m
m m  1 m

2
2
x
x
359. Ha x , számítsuk ki az L  lim n 2  n x   1  n 1 x   1
n
határértéket.
Megoldás
2

x
Legyen x   1 a. Próbálkozzunk erőltetett tényezőkiemeléssel:
1
 n a   1  n a ( n n 1)  1
1 
( a 
1 
n 2 n n 1 ) a  n 2 n 1 a    n 2 n 1 a a ( n n 1)   n 1 a ,

 n 1    n 1 1
 a   
( n n 1)
1
n a ( n n 1)  1
ahonnan a lim  lim n 1 a  1 és a lim  ln a alapján azt
n n  1 n n 1
( n n  1)
2
x
1)
kapjuk, hogy L  ln(x   .
Megjegyzés. Más megközelítéssel ugyanehhez az eredményhez jutunk, ha
1
2
a Lagrange-tételt alkalmazzuk az f  : ;n n   1   , ( )f t   x    1
x
t
függvényre:
1 1
2
2
2
n
x
x

(x   1) n 1 ln(x   1) n 2  ( )f n  ( f n  1)  (x 2  x  1) ln(x   1).
x
212