Page 10 - Tippek 11-12 o

f
f
t


t
x t , y  3t , … választást végezzük, így azt kapjuk, hogy (2 ) 2 ( ),
(3 ) 3 ( ) , … és kihasználva az  halmaz szerkezetét (ahol érvénye-
t
f
t
f

sek a Peano-axiómái), matematikai indukcióval feltételezzük, hogy
n
x
f
f

x
x

x
f ( ) nf ( ), és bizonyítjuk, hogy ((n  1) ) (n  1) ( ) .
Tehát az  halmazon az ( )f nt  nf ( ) (**) alapján a (*) egyenlet
t
megoldása az ( )f n  an , n   , ahol a  f (1).

2) Nézzük a Cauchy-függvényegyenlet megoldását az f : 
esetben. Mivel    ezért az előbbiek alapján csak a negatív egész szá-

t
mok esetén kell képletet keresnünk. Ha a (*) egyenletben x t , y  


választást tesszük, akkor az f (0) 0 alapján f ( )  f ( ) 0 

t
t
t
 ( )f    f ( ) adódik, és most ha a (**) összefüggésben t helyett a
t

t
t
t  értéket vesszük, akkor azt kapjuk, hogy (f  nt ) nf ( )   nf ( ) és

)

most a t  1 választással (f  ) n  ( a n adódik, ahol a  f (1).
Tehát a  halmazon is ugyanaz a képlet érvényes mint az  halma-
zon, vagyis ( )f n  an , n  .
3) Nézzük a Cauchy-függvényegyenlet megoldását az f  
:
1  1 
esetben. Ha most a (**) összefüggésben t  , akkor f (1)  nf   ,
n  n 
 1  1 1
ahonnan f    a . Ha most a (**) összefüggésben t  , akkor
 n  n m
 n   1  1 n
f    nf    na  a , vagyis ( )f r  ar minden r  esetén.
 m   m  m m
4) Nézzük a Cauchy-függvényegyenlet megoldását az f   
:
esetben, de ezúttal folytonos függvény esetén.
Ahhoz, hogy megtaláljuk az ( )f x képletét az  halmazon is, hasz-
nálnunk kell azt a tényt, hogy f folytonos, és a  halmaz sűrű az  
\
\
halmazon, ami azt jelenti, hogy bármely x  irracionális szám ese-
x
tén, létezik olyan x  racionális számsorozat, amelyre lim x  . Mi-
n n
n
vel x , ezért ( ) ax , és a folytonosság alapján felírható, hogy
f
x

n n n
f
x
x
lim ( )  f  lim x n   f ( )  ( )f x  ax, x   .
n
n x
26