Page 8 - Tippek 11-12 o

Megoldás
2
3
Már az A , A hatványok kiszámítása esetén is látszik, hogy egyre
bonyolultabb kifejezéseket kapunk, és nem vehető észre semmilyen sza-
bály. Ezért más utat kell választanunk. A mátrixunk úgy is felírható, hogy
 a b 
 2 2  2 2    2   2
2
A a  b 2  a  b a  b  . Mivel  a    b   1,
2 
2 
 b a    a  b   a  b 
2
2

 2 2 2 2 
 a  b a  b 
  a
ezért létezik olyan t   0,  szög, amelyre  cost és
2
 2  a  b 2
b 2 2  cost  sint
 sint . Ekkor A  a  b   , és a cos(p q ) 
2
a  b 2  cost sint 
p
 cos cosq  sin sinq , 2sin cos p  sin2p trigonometriai képletek
p
p
2 cos2t  sin 2t

2
2
segítségével azonnal adódik, hogy A  a  b 2   ,
 sin 2t cos2t 
3 cos3t  sin3t 4 cos4t  sin4t


4
3
2
2
A  a  b 2   , A  a  b 2   . Most,
 sin3t cos3t   sin4t cos4t 
az előzőek alapján már könnyedén megfogalmazhatjuk azt a sejtésünket,
k  coskt  sin kt
2
k
hogy A  a  b 2   . Így matematikai indukcióval bi-
 sin kt coskt 

k 1 cos(k  1)t  sin(k  1)t
2
zonyítjuk, hogy A k 1   a  b 2   is igaz. Való-
 sin(k  1)t cos(k  1)t 
k  cost  sint coskt  sin kt
k
2
2

ban, A k 1  A A  a  b 2 a  b 2    
 cost sint  sinkt coskt 

k 1 cos(k  1)t  sin(k  1)t
2
 a  b 2   .
 sin(k  1)t cos(k  1)t 
7. példa
 1 2 3 4 5 n *

Ha      S és A   n  , akkor mivel egyenlő
5
 2 3 4 5 1 
az A halmaz?
24