Page 61 - Teszteld magad 9-12

4. Teszt. 9. osztályos mértan és trigonometria

1. Felírható, hogy a = 68 20 (n − , továbbá a szögek összege ép-
+

1)
n
(a + a )n
pen S = 1 n = (n − 2) 180 , ahonnan 5n − 2 61n + 180 0 ,
=

n
2
5
ahonnan egyetlen egész gyök az n = . Ezért hát a helyes válasz az
(A).
2. Rajzoljuk meg a négyzet AC és BD átlóit, amelyek O-ban metszik
egymást. Legyen a négyzet oldala a, és PD =x. Ekkor a PAC és
PBD háromszögekben írjuk fel az oldalfelező hosszát:
2(12 + 2 65 ) 2a 2 2(x + 2 20 ) 2a 2
−
2
2
−
2
m = valamint m = , ahon-
2
a
4 a 4
2
2
nan 144+4225=x +400, ezért x =3969, ahonnan x=63. Tehát a he-
lyes válasz az (A).
3. Az ABC háromszög oldalait jelölje a, b, c és az ezekhez tartozó ma-
gasságokat , ,h h h . Akkor a háromszög területét három féle kép-
3
2
1
pen felírva kapjuk, hogy: ah = bh = ch  6a = 10b h c ahon-
=
1 2 3 3
h c h c h c h c
nan a = 3 , b = 3 . De b c+   3 + c  3 ahonnan
a
6 10 10 6

15 h , ezért a helyes válasz az (A).
3
4. A koszinusz-tétel alapján a = b + c − 2bc cos A 
2
2
2
−
=
 a = 25 12 13  = 13 , tehát K = 7 + 13 , ezért a helyes
2
a
válasz a (C).
abc
5. Ismert, hogy R = ,T = ( p p a p b p c , ahol
−
−
−
)(
)
)(
4T
+
+
a b c 7
p = = 10 , így T = 10 3 és R = , A helyes válasz (D).
2 3
6. Alkalmazzuk a koszinusz tételt az ABD és ADC háromszögekben:
BD = 3 + 2 − 12cos A , DC = 4 + 2 − 16cos A és a szögfelező
2
2
2
2
2
2
2 2
BD 2 3 2 A 7
tétel alapján = , ahonnan cos = A helyes válasz (C).
DC 2 4 2 2 12
61