Page 7 - Tuzson - Ismerkedes - mutatvany

I. Egyváltozós függvényegyenletek megoldása
helyettesítésekkel

Ebben a fejezetben olyan feladatokat mutatunk be, amelyeknek az egyenlete
egyetlen változót tartalmaz, és a függvényegyenlet alapján kell meghatároznunk az
ismeretlen függvényt. A függvényekre általában nincs semmilyen kikötés, legfel-
jebb a folytonosságukat követeljük, vagy még azt sem. Olyan módszert mutatunk
be, amely egyszerű változócserékből áll, és az elméleti háttért az összetett függvé-
nyek csoportja képezi.

1. Nem folytonos függvények meghatározása

I.1.1. Határozzuk meg azokat az f    függvényeket, amelyekre
:
2
2
( f x  1)  x  3x  bármely valós x esetén.
Megoldás
2
2
y
Legyen x   y  x   1, tehát ( )f y  (y  1)  3(y  1) 2  y  5y  .
1
6

I.1.2. Határozzuk meg azokat az f     függvényeket, amelyekre
:
 1  2
0

f    x  1 x bármely valós x, x  esetén.
 x 
Megoldás

1 1 1 1 y 2
Legyen  y  x  így ( )f y  
x y y y
I.1.3. Határozzuk meg azokat az f  \   1   függvényeket, amelyekre
:
 x  2
f    x bármely valós x, x   1 esetén.
 x  1 
Megoldás
2
x y  y 
y   x  , így ( )    .
f
y


x  1 1 y  1 y 
I.1.4. Határozzuk meg azokat az f    függvényeket, amelyekre
:
( f x 2020 )  x 2019 bármely valós x esetén.
Megoldás

1
Ha x   f (1) 1, ha x   1 f (1)   , tehát nincs ilyen függvény.
1
9