Page 11 - Tuzson - Ismerkedes - mutatvany

1. Első feladatcsoport

A következő függvényegyenletek megoldása céljából, általában jól megválasz-
tott sajátos x vagy y értékek mellett, egy egyváltozós egyenletet kapunk, amelyek
esetén, esetleg egy újabb változócsere segítségével már könnyebben megkaphatjuk
a függvényt. Vannak ellenben olyan esetek is, amikor már indulásból mindkét vál-
tozót azonos változóval kifejezve jutunk célba. De sok esetben a változóknak több
különféle értékeket kell választanunk.
Nagyon fontos, hogy a kapott megoldásfüggvényeket visszahelyettesítsük az
egyenletbe, mert ha megoldás, akkor azt teljesítenie kell.
II.1.1. Melyek azok az f    függvények, amelyekre
:
2
 f x   y  f   x  f y 2 ,  ?
  , x y
Megoldás
2
f x
0
Ha x  y  0 , akkor   0f  0 , ha y  , akkor    f   x , x . Most ha
2
  
  
y   x  0  f   0  f   x  f x 4 f   x  f    x 2 2   f   x  f x 2 2 f   x 
 2 f   0x  , tehát   0f x  , x  .
II.1.2. Melyek azok az f    függvények, amelyekre
:
 f x   y   f x   y  f   x  f   y , x y ,  ?
Megoldás
0
0
f
y
y
Ha x   , akkor   0f  0 , ha x  , akkor   y   f   y ,   és
y
y   , akkor  f x   y   f x   y  f   x   f   y . Egybevetve az eredeti egyen-
lettel kapjuk, hogy   x  f   0y  vagyis   0f x  , x .
f
II.1.3. Melyek azok az f    , függvények, amelyekre
:
 f x   y  f   x  f   y , x y ,  ?
Megoldás

x
Ha y  , akkor f 2   x  f (0) ,  x. Ha x  , akkor f (0) 0 vagy
0
0
f
x
f

0
(0) 1. Ha (0) 0 , akkor ( )  , x . Ha (0) 1, legyen x  így


f
f
kapjuk, hogy ( f  ) y  f ( ) ,  x, így hát: ( f x  ) y  ( f x  ( y 
))
y

f

)
x
 f ( ) f ( y  f ( ) f ( )  ( f x  ) y vagy (x  ) y  ( f x  ) y , x . Legyen
x

y

x x

most x  , y  , ezért ( )  f (0) 1, x . Tehát a feladatnak két megol-
x
f
2 2
dása van.
27