Page 10 - Tuzson - Ismerkedes - mutatvany

II. Különféle kétváltozós
függvényegyenletek megoldása

Kétváltozós függvényegyenletekkel a következő fejezetekben is foglalkozunk,
de azok vagy Cauchy egyenletre visszavezethetők, vagy speciális nevezetes egyen-
letek, és csak folytonos függvények. Ebben a részben olyan különféle kétváltozós
függvényegyenletekkel foglalkozunk, amelyek ezektől különbözőek, és más mód-
szerrel kell megoldanunk, nem vezetnek Cauchy egyenletre.
Ebben a fejezetben csak olyan függvényegyenletekkel foglalkozunk, amelyek
nem folytonos függvényeket tartalmaznak.
A továbbiakban tárgyalásra kerülő feladatok megoldása érdekében célszerű az
y
x   0 vagy x  y  1 vagy egyszerűen az x  y választások valamelyikével
próbálkozni, és ha így esetleg megtudjuk az (0) vagy f (1) lehetséges értékeit,
f
akkor a továbbiakban erre építhetünk, és használhatjuk ezeket. Esetenként azonban
ezek a választások haszontalannak is bizonyulhatnak, amikor is semmitmondó azo-
nosságokat kapunk. Ilyenkor másképpen kell elkezdeni a feladatok megoldását.
0
0
Más próbálkozás például az x  , y  vagy x  , y  amikkel kivált-
0
0
képpen akkor próbálkozunk, amikor az x vagy y úgymond szétválasztható formá-
ban szerepel, ellenben ezekkel is megtörténhet, hogy semmitmondó azonossághoz
vezetnek.
Ha a függvényegyenletben jelen van x y és x  is, akkor az x  y próbál-
y
y
kozás mellett az y   cserével is próbálkozhatunk, mert ilyenkor az eredeti
egyenlettel együtt egy olyan egyenlet rendszert kapunk, amelyben ismeretlenként
f
f
szerepelnek az (x  ) y és (x  ) y kifejezések, és az egyenletrendszert kétisme-
retlenes egyenletrendszerként kezelve, a többi kifejezéseket paramétereknek tekint-
ve, könnyűszerrel megoldhatjuk.
Végezetül kihangsúlyozzuk, hogy ebben a fejezetben csak f    függvé-
:
nyekkel foglalkozunk, és semmit sem feltételezünk az f folytonosságáról, vagy
más tulajdonságáról.
Ugyanakkor kihangsúlyozzuk, hogy a különféle változó választások után nyert
x
f ( ) függvény képleteit föltétlenül vissza kell helyettesítenünk az eredeti függ-
vényegyenletbe, ugyanis megtörténhet, hogy nem teljesíti azt az egyenletet, vagy
éppen csak bizonyos feltételekkel teljesíti azokat.
A következőkben kiválasztott bemutatásra kerülő feladatokról bővebben a
[19]-ben olvashatunk.

26