Page 12 - Tuzson - Ismerkedes - mutatvany

II.1.4. Melyek azok az f    függvények, amelyekre
:
( f x  ) y  f 2   x  f 2   y , x y ,  ?

Megoldás
 1 
2


Ha x   , akkor f (0) 2 f (0)  f (0)  0,  . Amennyiben f (0) 0
y
0
 2 
0,1
x
x
0
x

x
az y  esetén f ( )  f 2 ( )  f ( )   , tehát f ( ) 0. Amennyiben
1 2 1 1
f
x
x
x
f (0)  , úgy f ( )  f ( )   0 , tehát ( )  . Ezek a függvények teljesítik
2 4 2
is az eredeti egyenletet.
:
II.1.5. Melyek azok az f A   függvények, amelyekre
y
x
,

y


A

f ( )  f ( ) (y x ) f ( ) f ( ) , x y , a következő esetekben:

x
a) ha A   ; b) ha A      1 ?
Megoldás

f
x
Ha y  , akkor f ( )  f (0) xf ( ) (0)  f ( )(1 xf (0))  f (0) így ha
x
0
x

1

f (0) 0 , akkor f ( ) 0. Ellenben ha f (0) 0 , akkor x  -ra f (0) 0 ,


x

0
f (0)
tehát az a) esetben egyetlen megoldás az identikusan nulla függvény. A b) esetben
f (0)
x
az identikusan nulla függvényen kívül még f ( )  is megoldás. A tört
1 xf (0)

1
x   értékre nincs értelmezve, tehát ha (0)   1, akkor a függvény nem felel
f
f (0)
1
meg, ellenben ha (0)   , akkor az ( )f x  függvény teljesíti az egyenletet.
1
f

1 x
II.1.6. Melyek azok az f    függvények, amelyekre
:
y
f ( ) ( )  f ( )  f ( ) xy  , x y ?
x
f
,
0
y

x

Megoldás
f (0)
x
x

0
Ha y  , akkor f ( )( (0) 1)  f (0)  f ( )   c (állandó) . Ezt
f

f (0) 1
2
visszahelyettesítve az egyenletbe kapjuk, hogy xy   ,  , x y és ez ellent-
c
mondás, tehát nem létezik a feladatot teljesítő függvény.
II.1.7. Melyek azok az f    függvények, amelyekre
:

,
( f x  ) y  ( f x  y ) 4xy , x y ?

Megoldás
2
2
x
c
x
Ha x  y , akkor f (2 )  4y  f (0),2y   f ( )  x  amit visszahe-
y
lyettesítve az eredeti egyenletbe azt vesszük észre, hogy az teljesül bármely
2
f ( )  x  , c c  f (0) tetszőleges esetben.
x
28