Page 34 - Tuzson - Ismerkedes - mutatvany

z
x   z f ( )  f ( )  f ( )
y
y
x
b  , c  , d  így azt kapjuk, hogy 
z
y
2 3
z
 x  y  

 f   , x , ,z .
y
 3 
Megjegyzés
A feladat tovább általánosítható tetszőleges számú változóra, ha indukcióval
n
bizonyítjuk az n  2n   lépéseket.
1
XIV.4. Melyek azok az f    függvények, amelyekre
:
( f x  ) y  f ( ) ( ) ( ) , x y  ?
y
f
x
y

f
,
x
Megoldás


Legyen x a és y b c ahol a , b , c mind független változók. Ekkor

2
a
a
f
c
a
b
))
f
f
f
)
f

f
)
f
f

( f a b c  f ( ) (b c ) ( (b c  f ( ) ( ) ( ) ( ) (ab ) ( ) (a bc .
c
a

c

b
c
Ha most összecseréljük a változókat, azaz a  , akkor azt kapjuk, hogy
2

f
a

c
f
( f a b c  f ( ) (b c ) ( (b c  f ( ) ( ) ( ) ( ) (ab ) ( ) ( bc .
a
)
f
c
f
))

f
c
a
f
b
a
f
b

a
)
f
2
2
x
A két egyenlet alapján, tehát f ( b  ( f abc ,  a , ,c ezért f ( )  ,
a
) c
)
k
b
3
 x   , k  . Visszaírva az eredeti egyenletbe azt kapjuk, hogy k  k ahonnan
k  0 vagy k  1 vagy k   , tehát a megoldások ( ) 0f x  , ( ) 1f x  , ( )f x   1,
1
 x   .
XIV.5. Melyek azok az f    függvények amelyekre
:
,

y
x

( f x  ) y  f ( )  f ( ) x  , x y ?
y
Megoldás



Legyen x a és y b c ahol a , b , c mind független változók. Ekkor
a

( f a b c  f ( )  ( f b c ) a b c  f ( )  f ( )  f ( ) a  2b  2c . Ha most

b

)
c
a




f

a

c
összecseréljük a  , akkor azt kapjuk, hogy (a b c ) f ( ) f (b c ) a b c






c
b
 f ( )  f ( )  f ( ) c  2b  2a . A két összefüggés alapján az következik, hogy

a
a  , a ,c ami lehetetlen. Tehát a feladatnak nincs megoldása.
c
XIV.6. Melyek azok az f    függvények, amelyekre
:
 
2
2
x
,
( f x  ) y  f ( )  f ( ) x  y , x y ?
y



Megoldás


f
Legyen x a és y b c ahol a , b , c független változók. Ekkor (a b c )



2
2
2
2
2
2

))
)


c

b


)
a


a
 ( f a (b c  f ( ) f (b c ) a  (b c  f ( ) f ( ) f ( ) a  b  c  (b c .


)
Ha most összecseréljük a  , akkor azt kapjuk, hogy ( f a b c 

c
2
2
2
2
c
b
 f ( )  f ( )  f ( ) a  b  c  (b a így a két kifejezés egyenlőségéből azt
a

)

kapjuk, hogy a b , a ,b ami ellentmondás, tehát nem létezik a feltételeknek
eleget tevő függvény.
191