Page 32 - Tuzson - Ismerkedes - mutatvany

XIV. Függvényegyenletek megoldása segédváltozó
módszerével

Ezt a módszert a kétváltozós függvényegyenletek megoldása során alkalmaz-
hatjuk kiváltképpen akkor, amikor a tradicionális módszerek kevésbé hatékonyak.
A módszert főként akkor alkalmazzuk, amikor a függvényegyenletben jelen van az
( f x  ) y kifejezés. A módszer lényege a következő: a meglévő két ismeretlen he-
lyett három ismeretlent vezetünk be, ami nagyobb „mozgási” lehetőséget biztosít,
hiszen így egyel több független változó értékét választhatjuk meg kedvező módon.



Tehát megválasztjuk például x a és y b c ahol , ,a b c mind független válto-
f
)
zók. Ezen változócsere nyomán lesz egy (a b c kifejezést tartalmazó össze-


függésünk (tagunk), és további más kifejezések, amelyek tartalmazzák az , ,a b c
változókat valamilyen elrendezésben. Ha most az eredeti egyenletben például az

c
x  a b és y  változócserét végeznénk el, akkor az (f x  ) y kifejezés szintén
)


az f (a b c alakú kifejezés lesz, így a két állapot között kiküszöbölve az

( f a b c kifejezést, egy háromváltozós függvényegyenletet kapunk, ahol a füg-

)
getlen változók jó megválasztásának nagyobb esélye és lehetősége van. Ezt a máso-
dik változócserét tulajdonképpen egyszerűbben is megvalósíthatjuk, kivitelezhetjük,

mégpedig úgy, hogy amint az első x a és y b c változócsere nyomán meg-



f
)

kaptuk az (a b c kifejezést tartalmazó egyenletet, úgy az új egyenletben ösz-
b
c
a
szecseréljük a  vagy b  vagy c  változókat úgy, hogy az egyenlet
)
alakja megváltozzon. Ekkor az f (a b c kiküszöböléssel egy három változós


függvényegyenletet kapunk, amelynek megoldása sok szempontból könnyebb mint
az eredeti kétváltozós függvényegyenlet megoldása.

)
Megjegyezzük, hogy ha a függvényegyenletben egy f (x y alakú kifejezés

van jelen, akkor az x a és y b c választást végezzük. Ellenben úgy is eljárha-


x
g
tunk, hogy bevezetjük a ( )  f ( ) változócserét, ugyanis ekkor megjelenik a
e
x
( g x  ) y kifejezés, és a már leírt módon járhatunk el.
Ezzel a módszerrel különféle függvényképleteket is megkaphatunk, de olyan
feladatokat is megválaszolhatunk, amelyeknek nincs megoldásuk.
A módszer sajátosságából kifolyólag, gyakran kapunk olyan egyenletet, ame-
lyeket a már tárgyalt szeparációs módszerrel könnyűszerrel megoldhatunk (lásd a
III. fejezetben).
Ebben az esetben is, a megoldási folyamat során kapott megoldásfüggvényt
vissza kell helyettesíteni az eredeti egyenletbe, mert nem biztos, hogy teljesíti is azt.
A függvényeket illetően, semmilyen kikötést vagy plusz tulajdonságot nem igény-
lünk, még a folytonosságot sem. A függvények általában az  halmazon vannak


értelmezve, de hasonlóan járunk el, ha például az , ,  halmazok valamelyikén
van értelmezve.
189