Page 36 - Tuzson - Ismerkedes - mutatvany
P. 36
XVI. A trigonometrikus és hiperbolikus
függvényegyenlet-rendszerek
Ebben a fejezetben megvizsgálunk egy trigonometrikus függvényekből álló
egyenletrendszert, és egy hiperbolikus függvényekből álló függvényegyenlet-
rendszert.
1. A trigonometrikus függvényegyenlet-rendszerek megoldása
Az előző fejezetben megismerkedtünk a következő egyenletekkel is:
x
y
x
x
y
y
f
y
x
( g x ) y g ( ) f ( ) f ( ) g ( ) (1); (x ) y f ( ) f ( ) g ( ) g ( ) (2)
x
y
x
g
x
y
y
( f x ) y f ( ) f ( ) g ( ) g ( ) (3); (x ) y g ( ) f ( ) f ( ) g ( ) (4)
x
y
Ezeket trigonometrikus függvényegyenleteknek nevezik mivel az eredetük a
következő trigonometriai képletekre vezethető vissza:
sin(x ) y sin x cos y sin y cos x
sin(x ) y sin x cos y sin y cos x
cos(x ) y cos x cos y sin y sin x
cos(x ) y cos x cos y sin y sin x
A trigonometriai függvényegyenletek közül, kettőt emelünk ki:
y
x
y
x
( g x ) y g ( ) f ( ) f ( ) g ( ) (S)
y
x
y
x
( f x ) y f ( ) f ( ) g ( ) g ( ) (C)
Az elsőt a szakirodalomban szinusz függvényegyenletnek, a másodikat koszi-
nusz függvényegyenletnek nevezik. Ezek megoldásáról szintén az előző fejezetben
írtunk. Ellenben, több szerző foglalkozik a két egyenlettel, mint egyenletrendszer-
rel, ugyanis két ismeretlen függvény van, két egyenletben.
A továbbiakban ennek az egyenletrendszernek egy lehetséges megoldását mu-
tatom be, átvéve a d’Alembert-Poisson egyenletnél alkalmazott megoldási mód-
szert. Az egyenletrendszernek ezzel a módszerrel történő megoldásával a szakiroda-
lomban még nem találkoztam.
XVI.1.1. Melyek azok az , : függvények, amelyek kielégítik a
f
g
x
y
x
y
y
y
x
( g x ) y g ( ) f ( ) f ( ) g ( ) (S), (x ) y f ( ) f ( ) g ( ) g ( ) (C)
f
x
függvényegyenletet, x y esetén?
,
Megoldás
A megoldás céljából, emeljük második hatványra mint (S) mint a (C) egyenlet
mindkét oldalát, és adjuk össze. Ezt kapjuk:
y
x
f 2 (x ) y g 2 (x ) y f 2 ( ) g 2 ( ) f 2 ( ) g 2 ( ) y (1)
x
205
