Page 30 - Tuzson - Ismerkedes - mutatvany

Megoldás
3
2
x
x

z
f
Legyen x  y  , akkor f ( )  3 ( )  4 0 , tehát f ( ) { 2,1}. Köny-
x



x
f
2
x
nyen belátható, hogy ( )   , x  és ( ) 1, x  ugyanis nem lehet-
f
x
x
A
x

séges az, hogy f ( )   ,     és f ( ) 1,   \ A (ezt az eredeti
2
x
egyenleten kipróbálhatjuk).
XII.1.4. Melyek azok az  : 0,f     függvények amelyekre

( f x   ) z  f (2 xy  f (2 yz  ( f x   ) z , x , ,z 0, ?
y
y
)
)
y
Megoldás
x
)
Legyen P ( , , ) : (x   ) z  f (2 xy  f (2 yz  ( f x   ) z . Akkor
y
z
y
f
y
)
f
P
0


0
x
x

x
f
x
P (0,0,0): (0) 0 továbbá ( , ,0) : (2 ) 0 , x  , tehát ( ) 0 , x  .
f
XII.1.5. Melyek azok az f    függvények, amelyekre
:
y
y

z
x
y
( f x   ) z  f ( )  f ( )  f ( ) 3(x  y )(y  z )(z  ) x , x , , z  ?

Megoldás
3
Végezzük el a ( )f x  g ( )  x változócserét, ekkor az egyenletünk így alakul:
x



z
x
g

( g x y z ) g ( ) g ( ) g ( ), x , ,z. Ha most x y z  , akkor (0) 0 .


y

y
0


g
x
y
,

De ha csak z  , akkor ( ) g ( )  ( g x  ) y , x y és ebből az következik,
0

3

x
g
hogy ( ) ax , tehát ( )f x  x  ax és ez teljesíti is az adott egyenletet.
XII.1.6. Melyek azok az f    függvények, x , , z  esetén, amelyekre
y

:
f
z
x

z
f
z
f
y
f
y

x

y

x
x


( f x y z  ) 1 f ( ) ( ) f ( ) ( ) f ( ) (z  )  f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( )?
y

f
Megoldás
y
g
x
x
g
Legyen f ( )  tg ( ) , akkor azt kapjuk, hogy tg (x   ) z 
y
z


x
z
y
x

x
g
 tg( ( ) g ( ) g ( )) , tehát g (x   ) z  g ( ) g ( ) g ( ) k ( , , ) . De
y

z

y


y
g
x
0
y
x


z

z

ha x y z  , akkor ( , , )  k (0,0,0)  , tehát (x y z ) g ( ) g ( ) g ( ),
0

k
f

g
x
a
y
 x , , z  , ezért ( ) ax , tehát ( )  tg( ).
x
x
XII.1.7. Melyek azok az f    függvények, amelyekre
:
  
3
y
  f f f x f   y  f   3z  f   x  f   y   , x , , z  ?
z
Megoldás
y
z
y
x
Legyen P ( , , ) : ( ( ( ))  f ( )  f ( )) 3 ( )  f ( )   . Ekkor
z

f
x
z
y
f
x
3
f
f

x
P (0,0, )  P (0, ,0) : ( )  f (0) x , de ezt visszahelyettesítve az adott egyenlet-
x
f
x
be nem teljesíti azt, tehát a feladatnak nincs megoldása.
)
)
XII.1.8. Melyek azok az f :(0,  (0, függvények, amelyekre
x
f ( ) f ( ) f ( )
y
z

y
f
)
z
y
4 ( ) ( ) ( )  ( f xyz    , x , , z (0, ?
)
f
f
x
y
f ( ) f ( ) f ( )
x
z
169