Page 38 - Tuzson - Ismerkedes - mutatvany

a
Ha most n  , és y  , akkor a (10) alapján kapjuk, hogy:
k
2 n
 a   a   ka  2  a  2  ka   k  k

c  (k  1) n   c  n   n   1 c  n  1 c  n   cos n cos n  sin n sin n 
c

 2   2   2   2   2  2 2 2 2
(k  1)
 cos , ugyanis cos cos y  sin sin y  cos(x  ) y . Továbbá mivel az
x
x
2 n
 ka 


x
M   n k  ,n  sűrű a 0, intervallumon, ezért   esetén létezik
 2 
olyan x  M sorozat, amelyre lim x  x , ezért az c folytonossága miatt a (9)-
, k n , k n
k
n
x
ben határértékre térve kapjuk, hogy ( ) cosbx , x . Ezt visszahelyettesítve a
c



(4)-be kapjuk, hogy ( )   sinbx , ahol b  .
s
x
a
Tehát az (S)-(C) egyenletrendszer összes folytonos megoldása:
x
f
x
x
b
a
x

x
b
g
x
f ( )  g ( ) 0, ( )  e ax cos( ), ( )   e ax sin( ) , ahol , b (*)
A továbbiakban megmutatjuk, hogy az (1)–(4) trigonometrikus egyenletekből
képezett egyenletrendszerek visszavezethetők a (S)-(C) egyenlet rendszerre, vagy a
(DP I.) vagy a Wilson egyenletre.
XVI.1.2. Melyek azok az , :    függvények, amelyek kielégítik a
g
f
y
x


y
x

( g x  ) y  g ( ) f ( )  f ( ) g ( ) (1), (x  ) y  f ( ) f ( ) g ( ) g ( ) (2)

y

y
x
f
x
,
függvényegyenleteket, x y esetén?

Megoldás

g
Az (1)-ben, ha x  y , akkor (0) 0 következik. Ha a (2)-ben y  , akkor
0
f

f ( )  f ( ) (0) következik, és mivel f nem azonosan zéró, ezért (0) 1. Ha
x
f
x
g
y
y

most az (1)-ben x  , akkor ( ) g ( ) vagyis a g függvény páratlan. A (2)-ben,
0
f
)
ha x  , akkor ( y  f ( ) vagyis az f páros. Ha most az (1) és (2) egyenle-
y

0

)


y
tekben y   , akkor azt kapjuk, hogy g (x  ) y  g ( ) f ( y  f ( ) g ( y 
x
)

x
x

)
x
 g ( ) f ( )  f ( ) g ( ) , illetve ( f x  ) y  f ( ) f ( y ) g ( ) g ( y 


y
x
x

y



y

x

y
 f ( ) f ( )  g ( ) g ( ), így visszakaptuk az (S)-(C) egyenletrendszert.
x
XVI.1.3. Melyek azok az , :    nem állandó függvények, amelyek kielégítik
f
g

y
y

x

x
g

y
a (x y  g ( ) f ( )  f ( ) g ( ) (1), (x y  f ( ) f ( ) g ( ) g ( ) (3)
x
)

y


f
x
)
,

függvényegyenleteket, x y esetén, és f páros függvény?
Megoldás
0

Ha a (1)-ben x  y , akkor g (0) 0 adódik. Ha a (3)-ban y  , akkor
x
x

f
0
f ( )  f ( ) (0) és mivel f nem állandó, ezért (0) 1. Ha az (1)-ben x  ,
f
)
g
y
akkor ( y   g ( ) következik. Tehát g páratlan függvény. Az f párossága

207